Question

6．由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會隨緯度的變化而有所不同：若地球表面兩極處的重力加速度大小為g₀，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G，地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體．求：
（1）地球半徑R；
（2）地球的平均密度；
（3）若地球自轉(zhuǎn)速度加快，當赤道上的物體恰好能“飄”起來時，求地球自轉(zhuǎn)周期T'．

Answer 1

分析 質(zhì)量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力．根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，在赤道的物體所受地球的引力等于其在兩極所受的重力聯(lián)立求解．

解答 解：（1）在地球表面兩極為：F_萬=mg₀
在赤道處，由牛頓第二定律可得：${F}_{萬}-mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：R=$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
（2）在地球表面兩極有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
由密度公式可得：$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
（3）赤道上的物體恰好能飄起來，物體受到的萬有引力恰好提供向心力，
由牛頓第二定律可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{T{′}^{2}}$
解得：T′=$\sqrt{\frac{{g}_{0}-g}{{g}_{0}}}T$
答：（1）地球半徑$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$；
（2）地球的平均密度$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$；
（3）若地球自轉(zhuǎn)速度加快，當赤道上的物體恰好能“飄”起來時，地球自轉(zhuǎn)周期$\sqrt{\frac{{g}_{0}-g}{{g}_{0}}}T$

點評 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，地球近地衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力