Question

17．已知下列數(shù)據(jù)：
（1）地面附近物體的重力加速度g=9.8m/s² 
（2）地球半徑R=6.4×10⁶m
（3）萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²   
（4）月球與地球的球心距離r=3.8×10⁸m                  
（5）第一宇宙速度v₁=7.9×10³m/s
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，要求用三種方法計(jì)算地球質(zhì)量M．結(jié)果保留一位有效數(shù)字．

Answer 1

分析 方法一：利用地面重力等于萬有引力列式求解地球質(zhì)量；
方法二：利用月球的萬有引力提供向心力列式求解地球質(zhì)量；
方法三：第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，利用牛頓第二定律列式求解地球質(zhì)量；

解答 解：方法一：
在地面附近，不考慮地球自傳，重力等于萬有引力，故：
mg=$G\frac{Mm}{R^2}$
解得：
M=$\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{9.8×{{（6.4×1{0^6}）}^2}}}{{6.67×1{0^{-11}}}}kg=6×{10^{24}}kg$
方法二：月球的公轉(zhuǎn)周期為27天，根據(jù)萬有引力等于向心力，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
解得：
M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}=\frac{{4×{{3.14}^2}×{{（3.8×1{0^8}）}^3}}}{{6.67×1{0^{-11}}×{{（27×24×3600）}^2}}}=6×{10^{24}}kg$
方法三：
第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v_1^2}{R}$
解得：$M=\frac{v_1^2R}{G}=\frac{{{{（7.9×1{0^3}）}^2}×6.4×1{0^6}}}{{6.67×1{0^{-11}}}}=6×{10^{24}}kg$
答：地球質(zhì)量M約為6×10²⁴kg．

點(diǎn)評(píng) 估算地球質(zhì)量，可以利用重力等于萬有引力列式求解，也可以利用衛(wèi)星的萬有引力等于向心力列式求解，基礎(chǔ)題目．