Question

12．2015年3月6日，全國政協委員、中國載人航天工程總設計師周建平接受新華社記者采訪時說：“從現在掌握的基礎技術來說，我國具備實施載人登月工程的能力．”假設我國宇航員登上了月球，在月球上設置了一個秋千，將一質量為m的小球固定在秋千板上，如圖所示．已知月球的質量為M，半徑為R，引力常量為G，秋千的細繩長為L，不考慮月球的自轉．則下列說法正確的是（　�。�

• A． 若秋千靜止，小球對秋千板的壓力為G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
• B． 若秋千擺動，小球受到月球的吸引力為G$\frac{Mm}{{L}^{2}}$
• C． 若讓秋千的細繩偏離豎直方向θ角由靜止釋放，則小球擺動到最低點時的速度為$\frac{\sqrt{2GML（1-cosθ）}}{R}$
• D． 若讓秋千的細繩偏離豎直方向θ角由靜止釋放，則小球擺動到最低點時對秋千的壓力為2G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$（1-cosθ）

Answer 1

分析 根據萬有引力定律即可求出小球受到的引力；根據機械能守恒定律即可求出小球在最低點的速度，再由牛頓第二定律即可求出小球擺動到最低點時對受到的支持力，由牛頓第三定律說明小球對秋千的壓力．

解答 解：A、根據萬有引力定律，小球受到的引力：F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$；
秋千靜止時，小球受到的支持力與月球對小球的吸引力大小相等，所以N=F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$；
根據牛頓第三定律，小球對秋千板的壓力也是$\frac{GMm}{{R}^{2}}$．故A正確；
B、小球受到的引力：F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，與秋千是否擺動無關．故B錯誤；
C、若讓秋千的細繩偏離豎直方向θ角由靜止釋放，則小球擺動到最低點的過程中引力做功，則
$F•L（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
速度為：v=$\frac{\sqrt{2GML（1-cosθ）}}{R}$．故C正確；
D、根據牛頓第二定律，小球受到的支持力與引力的合力提供向心力，則：$N′-\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{L}$
所以：$N′=\frac{GMm（3-cosθ）}{{R}^{2}}$．
根據牛頓第三定律，小球擺動到最低點時對秋千的壓力為$\frac{GMm（3-cosθ）}{{R}^{2}}$．故D錯誤．
故選：AC

點評 該題結合萬有引力定律的應用考查豎直平面內的圓周運動，涉及的知識點多，公式多，在解答的過程中要理清思路，注意公式的變化關系．