Question

17．如圖所示，某生產(chǎn)線上相互垂直的甲、乙傳送帶等高，均以大小為4m/s的速度運(yùn)行，其中甲傳送帶的長度為L=1m，乙傳送帶足夠長，乙傳送帶的寬度為d=2m，圖中虛線為傳送帶中線．一工件（視為質(zhì)點(diǎn)）從甲左端由靜止釋放，經(jīng)一段時(shí)間由甲右端滑上乙，最終必與乙保持相對(duì)靜止．工件質(zhì)量為1kg，g=10m/s²，沿甲傳送帶中線向右建立x軸．
（1）若μ=0.45，求工件從放上甲傳送帶到相對(duì)乙傳送帶靜止經(jīng)歷的時(shí)間？皮帶上的劃痕各多長？
（2）若μ=0.9，求工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)過程中甲、乙傳送帶對(duì)工件共做多少功？
（3）當(dāng)μ不同時(shí)，工件最終相對(duì)乙傳送帶靜止的位置不同，求工件在乙傳送帶上相對(duì)乙沿x方向上的位移？

Answer 1

分析 （1）工件從放上甲傳送帶后先做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求勻加速運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間．工件滑上傳送帶乙后，以乙傳送帶為參考系，工件做加速度為μg的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減為零時(shí)即工件和乙傳送帶相對(duì)靜止．再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間和皮帶上的劃痕長度．
（2）對(duì)全過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求傳送帶對(duì)工件做的總功．
（3）若工件在甲傳送帶上先勻加速運(yùn)動(dòng)共速后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到μ≥0.8．當(dāng)μ＜0.8，工件在甲傳送帶上一直勻加速運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系結(jié)合求解．

解答 解：（1）工件在甲傳送帶上做勻加速時(shí)，加速度為 a=$\frac{μmg}{m}$=μg
工件一直勻加速運(yùn)動(dòng)到剛滑上傳送帶乙時(shí)的速度 ${v_1}=\sqrt{2μgL}=\sqrt{2×0.45×10×1}=3m/s$
勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 ${t_1}=\frac{v_1}{a}=\frac{v_1}{μg}=\frac{3}{0.45×10}s=\frac{2}{3}s$
位移 ${s_1}=v{t_1}-L=4×\frac{2}{3}-1=\frac{5}{3}m$
工件在乙傳送帶上運(yùn)動(dòng)：v_相=$\sqrt{{v^2}+v_1^2}=5m/s$
故以乙傳送帶為參考，工件做加速度為μg的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減為零時(shí)即工件和乙傳送帶相對(duì)靜止．
經(jīng)歷時(shí)間 t₂=$\frac{{v}_{相}}{a}$=$\frac{5}{4.5}=\frac{10}{9}s$
位移 s₂=$\frac{{v}_{相}^{2}}{2a}$=$\frac{5^2}{2μg}=\frac{25}{9}m$
共用時(shí) $t={t_1}+{t_2}=\frac{2}{3}+\frac{10}{9}=\frac{16}{9}s=1.8s$
皮帶上的劃痕長度為 $s={s_1}+{s_2}=\frac{5}{3}+\frac{25}{9}=\frac{40}{9}m=4.4m$
（2）全程對(duì)工件由動(dòng)能定理得：$W=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}×1×{4^2}=8J$
（3）若工件在甲傳送帶上先勻加速運(yùn)動(dòng)共速后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有 $\frac{v^2}{2μg}≤L$
即：當(dāng)μ≥0.8，v₁=v=4m/s，s₂=s₂=$\frac{{v}_{相}^{2}}{2a}$=$\frac{{{{（{4\sqrt{2}}）}^2}}}{2μg}=\frac{1.6}{μ}$
由幾何知識(shí)得 $\frac{4}{x}=\frac{{4\sqrt{2}}}{s_2}$$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{s_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{1.6}{μ}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5μ}$
當(dāng)μ＜0.8，工件在甲傳送帶上一直勻加速運(yùn)動(dòng)，故 ${v_1}=\sqrt{2μgL}=\sqrt{20μ}$
s₂=s₂=$\frac{{v}_{相}^{2}}{2a}$=$\frac{{{4^2}+20μg}}{2μg}=\frac{4+5μ}{10μ}$
由幾何知識(shí)得 $\frac{4}{x}=\frac{{\sqrt{{4^2}+20μ}}}{s_2}$$x=\frac{{\sqrt{4+5μ}}}{5μ}$
即當(dāng)μ≥0.8，$x=\frac{{4\sqrt{2}}}{5μ}$；
當(dāng)μ＜0.8，$x=\frac{{\sqrt{4+5μ}}}{5μ}$
答：（1）工件從放上甲傳送帶到相對(duì)乙傳送帶靜止經(jīng)歷的時(shí)間是1.8s，皮帶上的劃痕是4.4m．
（2）若μ=0.9，求工件在傳送帶上運(yùn)動(dòng)過程中甲、乙傳送帶對(duì)工件共做8J的功．
（3）工件在乙傳送帶上相對(duì)乙沿x方向上的位移：當(dāng)μ≥0.8，位移是$\frac{4\sqrt{2}}{5μ}$；當(dāng)μ＜0.8，位移是$\frac{\sqrt{4+5μ}}{5μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵在于分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，確定其運(yùn)動(dòng)軌跡，要以傳送帶乙為參考系，然后根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理列式分析．