Question

4．“神舟”七號(hào)飛船的成功發(fā)射為我國(guó)在2010年實(shí)現(xiàn)探月計(jì)劃--“嫦娥工程”獲得了寶貴的經(jīng)驗(yàn)．假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)行，到達(dá)軌道的A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入月球近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量M與月球的第一宇宙速度V；
（2）飛船在軌道Ⅰ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間T；
（3）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí)，速度如何變化．

Answer 1

分析 （1）忽略月球自轉(zhuǎn)，在月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量，近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度就是月球的第一宇宙速度，根據(jù)重力提供向心力列式計(jì)算即可．
（2）飛船做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，化簡(jiǎn)得飛船在圓形軌道繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間T；
（3）飛船由高軌道變向了低軌道，做的是向心運(yùn)動(dòng)，可知其速度應(yīng)該變�。�

解答 解：（1）月球表面的物體受到重力等于萬(wàn)有引力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，所以有：$M=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，
飛船貼近月球表面飛行時(shí)的速度為第一宇宙速度，此時(shí)重力等于萬(wàn)有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以有：$v=\sqrt{{g}_{0}R}$
（2）由題可知，飛船的軌道半徑為：r=3R+R=4R
飛船做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，解得：T=$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$
（3）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí)，飛船由高軌道變向了低軌道，做的是向心運(yùn)動(dòng)，可知其速度應(yīng)該變小．
答：（1）月球的質(zhì)量M為$M=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，月球的第一宇宙速度為$\sqrt{{g}_{0}R}$；
（2）飛船在軌道Ⅰ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間T為$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$；
（3）飛船在A點(diǎn)處點(diǎn)火時(shí)，速度減�。�

點(diǎn)評(píng) 解答本題知道飛船所受的萬(wàn)有引力提供向心力，利用周期與線速度表示向心力，然后結(jié)合萬(wàn)有引力定律求解，還要知道重力近似等于萬(wàn)有引力求引力加速度．解答時(shí)注意公式的化簡(jiǎn)