Question

4．“神舟”七號飛船的成功發(fā)射為我國在2010年實現(xiàn)探月計劃--“嫦娥工程”獲得了寶貴的經(jīng)驗．假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g₀，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運行，到達(dá)軌道的A點時點火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點B再次點火進(jìn)入月球近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運動，萬有引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量M與月球的第一宇宙速度V；
（2）飛船在軌道Ⅰ繞月球運行一周所需的時間T；
（3）飛船在A點處點火時，速度如何變化．

Answer 1

分析 （1）忽略月球自轉(zhuǎn)，在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，化簡可得月球的質(zhì)量，近月衛(wèi)星的運行速度就是月球的第一宇宙速度，根據(jù)重力提供向心力列式計算即可．
（2）飛船做圓周運動，萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，化簡得飛船在圓形軌道繞月球運行一周所需的時間T；
（3）飛船由高軌道變向了低軌道，做的是向心運動，可知其速度應(yīng)該變小．

解答 解：（1）月球表面的物體受到重力等于萬有引力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，所以有：$M=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，
飛船貼近月球表面飛行時的速度為第一宇宙速度，此時重力等于萬有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以有：$v=\sqrt{{g}_{0}R}$
（2）由題可知，飛船的軌道半徑為：r=3R+R=4R
飛船做圓周運動，萬有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，解得：T=$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$
（3）飛船在A點處點火時，飛船由高軌道變向了低軌道，做的是向心運動，可知其速度應(yīng)該變小．
答：（1）月球的質(zhì)量M為$M=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，月球的第一宇宙速度為$\sqrt{{g}_{0}R}$；
（2）飛船在軌道Ⅰ繞月球運行一周所需的時間T為$16π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{{g}_{0}}}$；
（3）飛船在A點處點火時，速度減小．

點評 解答本題知道飛船所受的萬有引力提供向心力，利用周期與線速度表示向心力，然后結(jié)合萬有引力定律求解，還要知道重力近似等于萬有引力求引力加速度．解答時注意公式的化簡