Question

1．如圖甲所示，直角坐標(biāo)系xoy中，第二象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場．第一、四象限內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)交變磁場．磁場方向垂直紙面向外為正方向．第三象限內(nèi)有一發(fā)射裝置（沒有畫出）沿y軸正方向射出一個(gè)比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的帶正電的粒子，（可視為質(zhì)點(diǎn)且不計(jì)重力），該粒子以v₀=10m/s的速度從x軸上的點(diǎn)A（-1m.0）進(jìn)入第二象限．從y軸上的點(diǎn)C（0，2m）進(jìn)入第一象限．取粒子剛進(jìn)入第一象限的時(shí)刻為0時(shí)刻，第一、四象限內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化．g=10m/s²

（1）求第二象限內(nèi)電場的電場強(qiáng)度大��；
（2）求粒子第一次經(jīng)過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）若保持第一、四象限內(nèi)的磁場大小不變，使其周期變?yōu)門₀=$\frac{3π}{80}$s，該粒子的運(yùn)動軌跡與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理及類平拋運(yùn)動的規(guī)律求解
（2）粒子在交變磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，求出半徑和周期，根據(jù)幾何關(guān)系求出交點(diǎn)坐標(biāo)
（3）畫出軌跡，考慮周期性，結(jié)合幾何關(guān)系求交點(diǎn)坐標(biāo)

解答 解：（1）帶電粒子在第二象限的電場中做類平拋運(yùn)動，設(shè)粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)用時(shí)為t，則
$Eq\\{x}_{A}^{\;}\\$$|{x}_{A}^{\;}|$=$\frac{1}{2}m（{v}_{C}^{2}-{v}_{0}^{2}）$
$|{x}_{A}^{\;}|=\frac{{v}_{Cx}^{\;}}{2}t$       
${y}_{C}^{\;}={v}_{0}^{\;}t$
${v}_{C}^{2}={v}_{0}^{2}+{v}_{Cx}^{2}$
解得：E=0.5N/C          ${v}_{C}^{\;}=10\sqrt{2}m$
（2）設(shè)粒子在C點(diǎn)的運(yùn)動方向與y軸正方向成θ角，則
$cosθ=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{v}_{C}^{\;}}=\frac{\sqrt{2}}{2}，即θ=45°$
粒子在第一象限磁場中運(yùn)動時(shí)$q{v}_{C}^{\;}B=m\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}m$
粒子做圓周運(yùn)動的周期$T=\frac{2πr}{{v}_{C}^{\;}}=\frac{π}{20}s$
所示粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖甲所示，粒子運(yùn)動第四個(gè)半圓的過程中第一次經(jīng)過x軸，在x軸上對應(yīng)的弦長為$r\sqrt{2}$
所以$OD=2m-r\sqrt{2}$=1.5m
粒子第一次經(jīng)過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為（1.5m，0）
（3）在磁場變化的前半個(gè)周期內(nèi)，設(shè)粒子偏轉(zhuǎn)的角度為β，則
$β=\frac{2π}{T}×\frac{{T}_{0}^{\;}}{2}=\frac{3π}{4}$
在該段時(shí)間內(nèi)粒子沿y軸負(fù)方向運(yùn)動的距離$△y=rsinθ=\frac{1}{4}m$，沿x軸正方向運(yùn)動的距離為
$△x=r（1+cosθ）=\frac{\sqrt{2}+1}{4}m$
因?yàn)?\frac{{y}_{C}^{\;}}{△y}=8$，所以粒子運(yùn)動軌跡如圖乙所示，粒子在磁場變化的第8個(gè)半周期和第9個(gè)半周期內(nèi)共經(jīng)過x軸3次
第1次：${x}_{1}^{\;}=8△x-2rcosθ=（2\sqrt{2}+\frac{3}{2}）m$
第2次：${x}_{2}^{\;}=8△x=（2\sqrt{2}+2）m$
第3次：${x}_{3}^{\;}=8△x+2rcosθ=（2\sqrt{2}+\frac{5}{2}）m$
答：（1）第二象限內(nèi)電場的電場強(qiáng)度大小0.5N/C；
（2）粒子第一次經(jīng)過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)（1.5m，0）；
（3）若保持第一、四象限內(nèi)的磁場大小不變，使其周期變?yōu)門₀=$\frac{3π}{80}$s，該粒子的運(yùn)動軌跡與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)${x}_{1}^{\;}=（2\sqrt{2}+\frac{3}{2}）m$，${x}_{2}^{\;}=（2\sqrt{2}+2）m$，${x}_{3}^{\;}=（2\sqrt{2}+\frac{5}{2}）m$．

點(diǎn)評 本題中質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場運(yùn)動，分析受力情況，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動的周期性，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識綜合求解．