Question

3．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉臺以一定角速度ω勻速轉動，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）若物塊和轉臺之間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．為了使物塊和陶罐相對靜止，求陶罐的角速度ω應該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，結合角速度的大小，通過幾何關系求出小物塊離陶罐部的高度h；
（2）當ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最大角速度，當ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當角速度最小時，摩擦力向上達到最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最小值．

解答 解：（1）當摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：$mgtanθ=mRsinθω_0^2$
解得：${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）當ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達最大值，設此最大角速度為ω₁，如圖；

由牛頓第二定律得，水平方向：${F}_{f1}cos60°+{F}_{N1}cos30°=mRsin60°{ω}_{1}^{2}$
豎直方向：F_f1sin60°+mg=F_N1sin30°
又：F_f1=μF_N1
聯(lián)立以上三式解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{10g}{R}}$
當ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當角速度最小時，摩擦力向上達到最大值，設此最小角速度為ω₂

由牛頓第二定律得，${F}_{N2}cos30°-{F}_{f2}cos60°=mRsin60°{ω}_{2}^{2}$
mg=F_N2sin30°+F_f2sin60°
又：F_f2=μF_N2
聯(lián)立三式解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{6g}{7R}}$，
綜述，陶罐旋轉的角速度范圍為$\sqrt{\frac{6g}{7R}}≤ω≤\sqrt{\frac{10g}{R}}$
答：（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，此時的角速度為$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（2）若小物塊一直相對陶罐靜止，陶罐旋轉的角速度的取值范圍為$\sqrt{\frac{6g}{7R}}≤ω≤\sqrt{\frac{10g}{R}}$．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解，難度適中．