20.某活動(dòng)小組做了一個(gè)游戲:在水平直跑道上距離出發(fā)點(diǎn)18m、90m處分別放有1枚硬幣,游戲規(guī)則是把這2枚硬幣全部撿起來(撿硬幣時(shí),人的速度為0,不計(jì)人彎腰撿幣時(shí)間),看誰用的時(shí)間最短.已知某同學(xué)做勻加速運(yùn)動(dòng)和勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小均為2m/s2,運(yùn)動(dòng)的最大速度不超過8m/s,求該同學(xué)撿起2枚硬幣所需要的最小時(shí)間.

分析 當(dāng)該同學(xué)先加速再減速到零時(shí),所用的時(shí)間最短,若加速的速度達(dá)到最大速度,則先加速、再勻速、最后減速所用的時(shí)間最短,結(jié)合位移大小,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最小時(shí)間.

解答 解:由題意可知,該同學(xué)先加速后減速運(yùn)動(dòng)時(shí),所用的時(shí)間最短,因?yàn)樽畲笏俣葹?m/s,則也可能先加速到最大速度、再勻速,最后減速所用的時(shí)間最短.
對(duì)于第一段過程,設(shè)經(jīng)過t1時(shí)間撿第一枚硬幣,根據(jù)${x}_{1}=2×\frac{1}{2}a(\frac{t}{2})^{2}$,
代入數(shù)據(jù)解得t1=6s,
此過程中的最大速度${v}_{m}=a\frac{{t}_{1}}{2}=2×3m/s=6m/s<8m/s$,
所以撿第一枚硬幣的過程中,先加速,再減速用時(shí)最短.
設(shè)再經(jīng)過t2時(shí)間撿第二枚硬幣,有:${x}_{2}=2×\frac{1}{2}a(\frac{{t}_{2}}{2})^{2}$,
x2=90-18m=72m,
代入數(shù)據(jù)解得t2=12s,
此過程中的最大速度${v}_{2}=a\frac{{t}_{2}}{2}=2×6m/s=12m/s>8m/s$,
所以撿第二枚硬幣時(shí),先加速、再勻速、最后減速時(shí)間最短.
設(shè)加速和減速的總時(shí)間為t3,勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t4,
則有:${x}_{2}=2×\frac{1}{2}a(\frac{{t}_{3}}{2})^{2}+{v}_{m}{t}_{4}$,
${v}_{m}=a\frac{{t}_{3}}{2}$,
代入數(shù)據(jù)解得t3=8s,t4=5s,
則最短總時(shí)間t=t1+t3+t4=6+8+5s=19s.
答:該同學(xué)撿起2枚硬幣所需要的最小時(shí)間為19s.

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在什么情況下所用的時(shí)間最短,這是解決本題的突破口,注意若同學(xué)加速運(yùn)動(dòng)的末速度大于最大速度,則先加速、再勻速、最后減速所用的時(shí)間最短.

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