Question

10．為了旅客的安全，國家明令禁止旅客把違禁物品帶上公共交通工具，所以旅客進站前都要進行安檢．如圖1所示為車站安檢使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=4m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m，現(xiàn)有一個旅行包（視為質點）以速度v₀=2$\sqrt{5}$m/s的初速度水平地滑上水平傳送帶．已知旅行包與皮帶之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2．皮帶輪與皮帶之間始終不打滑，從B端滑落做平拋運動，g取10m/s²．討論下列問題：
（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B點時，人若沒有及時取下，旅行包將從B端滑落．則包的落地點距B端的水平距離為多少？
（2）設皮帶輪順時針勻速轉動，若皮帶輪的角速度ω₁=20rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離又為多少？
（3）設皮帶輪以不同的角速度順時針勻速轉動，如圖2畫出旅行包落地點距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象．（第（3）問要求作圖準確，標出相應的坐標數(shù)值，但不要求寫出計算步驟）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出旅行包做勻減速直線運動的加速度大小，根據(jù)速度位移公式求出旅行包到達B端的速度，離開B點做平拋運動，根據(jù)高度求出平拋運動的時間，從而求出水平位移．
（2）若皮帶輪的角速度ω₁=20rad/s，根據(jù)v=Rω求出皮帶線速度的大小，得知旅行包滑上傳送帶做勻減速直線運動，當速度達到傳送帶速度做勻速直線運動．從而根據(jù)平拋運動知識求出旅行包落地點距B端的水平距離．
（3）分三種情況進行討論分析：一直勻減速運動，先勻變速后勻速，一直勻加速運動，進而求出角速度與水平位移的關系．

解答 解：（1）旅行包做勻減速直線運動，a=μg=6m/s²．
旅行包到達B端的速度為v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2aL}$=$\sqrt{100-96}$m/s=2m/s．
包的落地點距B端的水平距離為s=vt=v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$m=0.6m．
（2）當ω₁=20rad/s時，皮帶的速度為v₁=Rω₁=4m/s．
所以旅行包到達B端的速度也為4m/s．
包的落地點距B段的水平距離為s=v₁t=4×0.3m=1.2m．
（3）包在傳送帶上須勻減速運動，且到達B端的速度為v=2m/s時，水平距離才不變．
皮帶輪的臨界角速度ω=$\frac{v}{R}$=$\frac{2}{0.2}$rad/s=10rad/s
討論如下：
①當ω≤10rad/s時，包一直減速，在B端速度2m/s，則：
平拋的水平距離為s=0.6m；
②當10rad/s＜ω′＜70rad/s時，水平先減速或加速再勻速，包在B端的速度與傳送帶的速度相同，則：
平拋的水平距離為s′=v′t=v′$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=ωR$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.06ω
③當ω≥70rad/s時，包一直加速，在B端速度14m/s，則平拋的水平距離為
s″=4.2m．
則旅行包落地點距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象如圖所示：

答：（1）包的落地點距B端的水平距離是0.6m；
（2）若皮帶輪的角速度ω₁=20rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離又為1.2m；
（3）圖象如圖所示．

點評 本題關鍵是對旅行包的運動情況分析清楚，然后根據(jù)牛頓第二定律、運動學公式和平拋運動的分位移公式列式求解．