Question

2．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力系數(shù)為G，某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行的周期為T，求
（1）地球的平均密度．
（2）衛(wèi)星的運(yùn)行的軌道半徑和線速度大�。�

Answer 1

分析 1、不計(jì)地球自轉(zhuǎn)，在地球表面上，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，列式也可求得地球的質(zhì)量，根據(jù)密度定義求解地球的平均密度．
2、由地球的萬有引力提供衛(wèi)星的向心力求解衛(wèi)星的運(yùn)行的軌道半徑和線速度大小．

解答 解：（1）不計(jì)地球自轉(zhuǎn)，在地球表面上，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，有：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
根據(jù)密度定義得：
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（2）由地球的萬有引力提供衛(wèi)星的向心力，有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
v=$\frac{2πr}{T}$=$\sqrt{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$  
答：（1）地球的平均密度是$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）衛(wèi)星的運(yùn)行的軌道半徑和線速度大小是$\sqrt{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．