Question

11．如圖所示，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺(tái)上的A點(diǎn)以v₀=1.8m/s的初速度水平拋出，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，恰好沿C點(diǎn)的切線方向進(jìn)人固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道，最后小物塊無碰撞地滑上緊靠軌道末端D點(diǎn)的足夠長的水平傳送帶．已知傳送帶上表面與圓弧軌道末端切線相平，傳送帶沿順時(shí)針方向勻速運(yùn)行的速度為v=3m/s，小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，圓弧軌道的半徑為R=2m，C點(diǎn)和圓弧的圓心O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角θ=53°，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8、cos53°=0.6．求：
（1）A、C兩點(diǎn)的豎直高度為多少；
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）小物塊從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到C做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度沿C點(diǎn)的切線方向，由速度分解求出經(jīng)過C點(diǎn)的豎直分速度，即可求得A、C兩點(diǎn)的豎直高度．
（2）先利用平拋運(yùn)動(dòng)求出物體到達(dá)C點(diǎn)速度，由C到D利用動(dòng)能定理求解D點(diǎn)速度，在D點(diǎn)利用牛頓第二定律和牛頓第三定律列式求解即可壓力；
（3）物塊在傳送帶上滑動(dòng)時(shí)，做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減到零后，反向勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度相同后一起做勻速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出共同運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)能量守恒求出物塊在木板上相對(duì)滑動(dòng)過程中產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）設(shè)小物體在C點(diǎn)時(shí)得豎直分速度大小為v_y，速度大小為v_C，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，C點(diǎn)的速度方向與水平方向成θ=53°，則由幾何關(guān)系可得：
  v_y=v₀tan53°=1.8×$\frac{4}{3}$=2.4m/s
由${v}_{y}^{2}$=2gh得 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=0.288m
（2）C點(diǎn)的速度 v_C=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{1.8}{cos53°}$m/s=3m/s
由C點(diǎn)到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
  mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²
小球在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$…③
由牛頓第三定律，小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為：F_N′=F_N…④
①②③④聯(lián)立得：F_N′=22.5N，方向豎直向下．
（3）設(shè)小物塊在傳送帶上滑動(dòng)的加速度大小為a，由牛頓第二定律得：
 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10m/s²=5m/s²
小物塊勻減速直線運(yùn)動(dòng)至速度為零的時(shí)間為t₁，向左通過得位移為x₁，傳送帶向右運(yùn)動(dòng)的距離為x₂，則：
 v_D=at₁
 x₁=$\frac{1}{2}$at₁²
 x₂=vt₁
小物塊向右勻加速直線運(yùn)動(dòng)達(dá)到和傳送帶速度相同時(shí)間為t₂，向左通過的位移為x₃，傳送帶向右運(yùn)動(dòng)的距離為x₄，則：
 v=at₂
 x₃=$\frac{1}{2}$at₂²
 x₄=vt₂
整個(gè)過程小物塊相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的距離為：x=x₁+x₂+x₄-x₃
生成得熱量為：Q=μmgx…
聯(lián)立以上九式解得：Q=32J
答：
（1）A、C兩點(diǎn)的豎直高度為是0.288m；
（2）小物塊到達(dá)圓弧軌道末端D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是22.5N，方向豎直向下；
（3）小物塊從滑上傳送帶到第一次離開傳送帶的過程中產(chǎn)生的熱量是32J．

點(diǎn)評(píng) 恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球在C點(diǎn)速度，本題很好的把平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起運(yùn)用機(jī)械能守恒或動(dòng)能定理解決，能夠很好的考查學(xué)生的能力．