Question

17．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響．
求：（1）地球的第一宇宙速度v；
（2）若一顆人造地球衛(wèi)星離地面的高度為h，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求該衛(wèi)星的周期T．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬(wàn)有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m′，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律列式，質(zhì)量為m的衛(wèi)星，在地面附近時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律等于重力列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）設(shè)一質(zhì)量為m的衛(wèi)星，在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體受到的萬(wàn)有引力近似等于重力，根據(jù)牛頓第二定律有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}$
（2）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m′，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：
$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′（\frac{2π}{T}）^{2}（R+h）$
質(zhì)量為m的衛(wèi)星，在地面附近時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得衛(wèi)星的周期為：$T=\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）地球的第一宇宙速度v為$\sqrt{gR}$；
（2）該衛(wèi)星的周期T為$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，地球衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．