Question

1．如圖所示，第一象限有平行于紙面且與x軸負(fù)方向成45°的勻強電場，電場強度大小未知．第四象限有方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B．現(xiàn)從坐標(biāo)原點O向磁場中射入一個質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子（重力不計），速度大小為v，方向與x軸正方向成45°，該粒子從O點進入磁場之后，第四次經(jīng)過x軸時恰好回到O點．則粒子從O點進入磁場到再次回到O點的過程中．求：
（1）粒子第一次經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)．
（2）電場強度的大小．
（3）該粒子從O點出發(fā)到再次回到O點所需的時間．

Answer 1

分析 （1）首先分析粒子的運動情況，進入磁場后先做一段$\frac{1}{4}$圓弧的圓周運動到a，先求出半徑，根據(jù)幾何知識求出a坐標(biāo)；
（2）接著恰好逆著電場線勻減速運動到b點速度為零，再返回a點速度仍為v，在磁場中運動$\frac{3}{4}$圓弧到c，最后垂直電場線進入電場作類平拋運動，再根據(jù)平拋運動和勻速圓周運動的基本公式及幾何知識求電場強度；
（3）分別求出各段運動的時間，然后加到一起．

解答 解：（1）根$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
$R=\frac{mv}{qB}$
根據(jù)幾何知識可得，
oa長${x}_{oa}=\sqrt{2}R=\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$
a的坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）

（2）根據(jù)圖象可知 ${x}_{oc}=2\sqrt{2}R$
類平拋運動的垂直和平行電場方向的位移都為s_⊥=s_∥=x_ocsin45°=2R
所以類平拋運動時間為  ${t}_{3}=\frac{{s}_{⊥}}{v}=\frac{2R}{v}$
又 ${s}_{∥}=\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$=$\frac{qE}{2m}{{t}_{3}}^{2}$
 可 E=vB
（3）根據(jù)$T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場中運動的總時間為${t}_{1}=T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在電場中的加速度$a=\frac{qE}{m}=\frac{qvB}{m}$
粒子做往返直線運動所需時間${t}_{2}=\frac{2v}{a}=\frac{2m}{qB}$
粒子在電場中做類平拋運動的時間${t}_{3}=\frac{2R}{v}=\frac{2m}{qB}$
總時間$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{2m}{qB}（2+π）$
答：（1）粒子第一次經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）；
（2）電場強度的大小為vB；
（3）該粒子從O點出發(fā)到再次回到O點所需的時間為$\frac{2m}{qB}（2+π）$．

點評 此題主要考查帶電粒子在電場和磁場中的運動問題，要求學(xué)生掌握圓周運動、勻變速直線運動及類平拋的基本公式．做此題時需要畫出粒子的運動軌跡，并且對粒子的運動分段進行分析，此題難度較大．