Question

16．如圖甲所示，平行正對(duì)金屬板M、N接在直流電源上，極板長(zhǎng)度為l、板間距離為d；極板右側(cè)空間中存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示，t₀=$\frac{2πm}{3q{B}_{0}}$．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子以初速度v₀沿板間的中心線射入電場(chǎng)，t=0時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與v₀的夾角θ=30°，以板間中心線為x軸，極板右邊緣為y軸．不考慮極板正對(duì)部分之外的電場(chǎng)，粒子重力不計(jì)．求：

（1）M、N間的電壓；
（2）t=t₀時(shí)刻粒子的速度方向；
（3）t=4t₀時(shí)刻粒子的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)末速度方向求出粒子在豎直方向上速度的增加量，根據(jù)加速度求出電場(chǎng)力，求出MN間電壓；
（2）先求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期，跟t₀比較，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出t=t₀時(shí)刻粒子的速度方向；
（3）求出磁場(chǎng)為2B₀時(shí)粒子的周期，跟t₀比較，畫出完整粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出求出4t0時(shí)粒子的坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，沿極板方向和垂直于磁場(chǎng)方向分別做勻速運(yùn)動(dòng)和勻加速直線運(yùn)動(dòng)
l=v₀t
v_y=at
$a=\frac{{F}_{電}}{m}=\frac{Uq}{md}$
$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
整理得$U=\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{md{{v}_{0}}^{2}}{ql}$
（2）0～t₀時(shí)間內(nèi)，做圓周運(yùn)動(dòng)的周期${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
所以${t}_{0}=\frac{{T}_{1}}{3}$
0～t₀時(shí)間內(nèi)速度方向偏轉(zhuǎn)了$\frac{2π}{3}$
t₀時(shí)刻粒子的速度沿y軸負(fù)方向．
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度為：$v=\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
在y軸上位置為：${y}_{0}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
0～t_o時(shí)間內(nèi)，做圓周運(yùn)動(dòng)的半R₁，根據(jù)牛頓第二定律有：
$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)有：$qv2{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
${t}_{0}=\frac{{2T}_{2}}{3}$
${T}_{2}=\frac{2πm}{q2{B}_{0}}$
2t₀時(shí)刻，粒子的速度方向t=0時(shí)刻相同，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的周期性，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡示意如圖，根據(jù)幾何知識(shí)，4t₀時(shí)刻粒子的位置坐標(biāo)
x₄=2（R₁+R₁sinθ-R₂-R₂sinθ）
y₄=y₀-2（R₁cosθ-R₂cosθ）
整理得：${x}_{4}=\sqrt{3}\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$，${y}_{4}=\frac{\sqrt{3}}{6}l-\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
答：（1）M、N間的電壓$\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{md{{v}_{0}}^{2}}{ql}$；
（2）t=t₀時(shí)刻粒子的速度方向沿y軸負(fù)方向；
（3）t=4t₀時(shí)刻粒子的位置坐標(biāo)為$（\sqrt{3}\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}，\frac{\sqrt{3}}{6}l-\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}）$．

點(diǎn)評(píng) 此題分別考查了粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，需要考生掌握平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式．解答過(guò)程中需要考生在紙上較準(zhǔn)確的畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣才能直觀的求出粒子的坐標(biāo)，此題難度較大．