Question

6．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy第Ⅰ象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．半徑為L的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域在第Ⅱ象限內(nèi)與x、y軸相切與C、D兩點(diǎn)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于xOy平面向外．電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子a從C點(diǎn)垂直x軸射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好從D點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后從M點(diǎn)射出電場(chǎng)，在M點(diǎn)時(shí)其速度與x軸成60°角．保持磁場(chǎng)方向不變、改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，讓另一質(zhì)量、帶電量與a均相同的粒子b也從C點(diǎn)垂直x軸射入磁場(chǎng)，其射入磁場(chǎng)的速率為a射入磁場(chǎng)速率的$\frac{2\sqrt{3}}{3}$倍，射出磁場(chǎng)后進(jìn)入電場(chǎng)，已知粒子b在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的過程中，離x軸最遠(yuǎn)時(shí)的速率與粒子a在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率相同，不計(jì)粒子重力，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E大��；
（2）粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′及粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t′．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系及洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場(chǎng)中的速率，根據(jù)半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B′，根據(jù)周期公式求周期，結(jié)合圓心角求時(shí)間

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可得其運(yùn)動(dòng)的半徑為：R=L
洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：$tan60°=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$
${v}_{y}^{\;}=at$
$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
qE=ma
y=L
解得：$E=\frac{3q{B}_{\;}^{2}L}{2m}$
（2）粒子b進(jìn)入電場(chǎng)后速度先減小，電場(chǎng)力對(duì)其做負(fù)功，故b進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正向的夾角α的范圍是：0＜α＜90°：b離x軸最遠(yuǎn)時(shí)速度與x軸平行，則：
$sinα=\frac{v}{\frac{2\sqrt{3}}{3}v}$，可得α=60°
設(shè)b從磁場(chǎng)區(qū)域的P點(diǎn)射出，b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角為θ
由幾何關(guān)系可得：θ=60°
粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑$R′=\frac{L}{tan30°}=\sqrt{3}L$
粒子在b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)：$qv′B′=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{R′}$
$v′=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}^{\;}$
解之得磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：$B′=\frac{mv′}{qR′}=\frac{2}{3}B$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πm}{qB′}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t′=\frac{θ}{360°}T$
解得：$t′=\frac{πm}{3qB′}=\frac{πm}{2qB}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E大小為$\frac{3q{B}_{\;}^{2}L}{2m}$；
（2）粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′及粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t′為$\frac{πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要注意應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解；而在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在解題時(shí)要注意應(yīng)用好平拋和圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)