Question

2．如圖所示，光滑的半球殼半徑為R，固定在地面上，O點在球心的正下方，一小球由距O點很近的A點由靜止放開，同時在O點正上方有一小球自由落下，若運動中阻力不計，為使兩球在O點相碰，小球應由h=$\frac{{（2n+1）}^{2}}{8}{π}^{2}R（n=0，1，2，…）$高處自由落下．

Answer 1

分析 從O點上方下落的小球做自由落體運動，從A點釋放的小球近似看做單擺，根據(jù)各自的規(guī)律即可求得時間的表達式，若使兩球在圓弧最低點O處相遇，要考慮到在軌道上運動的周期性，然后列出等式即可．當n=0時，球自由下落的高度最小．

解答 解：設從O點上方下落的小球從離弧形槽最低點h高處開始自由下落，到達O點的時間為：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
從A點釋放的小球近似看做單擺，其周期為：：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
由于從A點釋放的小球運動的周期性，所以該小球到達O點的時間為：
${t}_{2}=\frac{T}{4}+n\frac{T}{2}=\frac{2n+1}{2}•π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…
由于兩個小球在O點相遇，故有：t₂=t₁
解得：h=$\frac{{{{（2n+1）}^2}}}{8}{π^2}R（n=0，1，2，…）$
故答案為：$\frac{{（2n+1）}^{2}}{8}{π}^{2}R（n=0，1，2，…）$．

點評 該題的要考慮到從A點釋放的小球運動的周期性，寫出它到達最低點的時刻的通式是解題的關鍵．