Question

7．如圖（a）所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時(shí)A板比B板的電勢(shì)高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現(xiàn)有由質(zhì)量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO′的速度v₀=$\frac{q{U}_{0}T}{3dm}$不斷射入，所有粒子在AB間的飛行時(shí)間均為T，不計(jì)重力影響．試求：
（1）粒子打出電場(chǎng)時(shí)位置離O′點(diǎn)的距離范圍；
（2）若要使打出電場(chǎng)的粒子經(jīng)某一垂直紙面的圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)點(diǎn)處，而便于再收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑和相應(yīng)的磁感強(qiáng)度是多大？

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向先做勻加速運(yùn)動(dòng)后做勻減速運(yùn)動(dòng)，粒子由t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向下側(cè)移最大，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求出最大側(cè)移．粒子由t=nT+$\frac{2}{3}$T時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向上側(cè)移最大，再求出此側(cè)移，即可得到范圍．
（2）粒子在打出粒子的速度都是相同的，由速度合成法求出粒子的速度．要使平行粒子能夠交于圓形磁場(chǎng)區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時(shí)，磁場(chǎng)直徑最小值與粒子寬度相等，即可得到磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑．粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力，可牛頓第二定律求出相應(yīng)的磁感強(qiáng)度

解答 解：（1）當(dāng)粒子由t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向下側(cè)移最大，（n=0，1，2…）則：
s₁=$\frac{1}{2}$a（$\frac{2T}{3}$）²+a（$\frac{2T}{3}$）•$\frac{1}{3}$T-$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{3}$）²，a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$，解得：s₁=$\frac{7q{U}_{0}{T}^{2}}{18md}$，
當(dāng)粒子由t=nT+$\frac{2}{3}$T時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向上側(cè)移最大，則：s₂=$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{3}$）²，解得：s₂=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{18md}$，
所以，在距離O′中點(diǎn)下方$\frac{7q{U}_{0}{T}^{2}}{18md}$至上方$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{18md}$范圍內(nèi)有粒子打出． 
（2）打出粒子的速度都是相同的，在沿電場(chǎng)線方向速度大小為 v_y=a•$\frac{T}{3}$，
所以打出速度大小為 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，解得：v=$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}T}{3md}$，
設(shè)速度方向與v₀的夾角為θ，則 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，得θ=45°
要使平行粒子能夠交于圓形磁場(chǎng)區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時(shí)，
磁場(chǎng)直徑最小值與粒子寬度相等，粒子寬度D=（s₁+s₂）cos45°     
故磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為：r=$\frac{D}{2}$=$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}{T}^{2}}{9md}$，
粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{3m}{qT}$；
答：（1）粒子射出電場(chǎng)時(shí)位置離中軸線OO′的距離范圍為距離O′中點(diǎn)下方$\frac{7q{U}_{0}{T}^{2}}{18md}$至上方$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{18md}$范圍內(nèi)有粒子打出．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為$\frac{\sqrt{2}q{U}_{0}{T}^{2}}{9md}$，相應(yīng)的磁感強(qiáng)度是$\frac{3m}{qT}$．

點(diǎn)評(píng) 本題分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，確定粒子什么時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)距離最大是關(guān)鍵．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用幾何知識(shí)求出半徑．