Question

5．一艘小船在200m寬的河中橫渡到對岸，已知水流速度是5m/s，小船在靜水中的速度是4m/s．
求：（1）欲使船渡河時間最短，船應該怎樣渡河？最短時間是多少？船經過的位移多大？
（2）欲使航行位移最短，船應該怎樣渡河？最短位移是多少？渡河時間多長？

Answer 1

分析 船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短．
因為水流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達正對岸，則當合速度垂直靜水速度時，位移最短．

解答 解：（1）當靜水速的方向與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間t=$\fracx4gf29a{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$=50s；
船在水流方向的位移s=v_st=5×50=250m；
那么船經過的位移是x=$\sqrt{20{0}^{2}+25{0}^{2}}$≈320m；
（2）因為水流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達正對岸．當合速度的方向與靜水速的方向垂直時，合速度的方向與河岸的夾角最短，渡河航程最小．
設此時靜水速的方向與河岸的夾角為θ，cosθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{4}{5}$．
解得：夾角θ=37°
根據幾何關系，則有：$\fraclzjju6y{s}$=$\frac{vc}{{v}_{s}}$，
因此最短的航程是s=$\frac{5}{4}$d=$\frac{5}{4}×200$m=250m．
渡河時間是t=$\frac{s}{{v}_{合}}$=$\frac{250}{\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}}$≈83.3s；
答：（1）欲使船渡河時間最短，船應該垂直河岸渡河，最短時間是50s，船經過的位移320m；
（2）欲使航行位移最短，船應該偏向上游37°渡河，最短位移是250m，渡河時間83.3s．

點評 小船過河問題屬于運動的合成問題，要明確分運動的等時性、獨立性，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，分析過河位移時，要分析合速度．