Question

20．牛頓為了論證地面上物體所受的重力與天體間的引力是同一性質(zhì)的力，做了著名的“月-地”檢驗：若用m表示地球的質(zhì)量，R表示地球半徑，r表示月球到地心的距離，G表示引力常量，試證明，在地球引力作用下：
（1）地球表面上的物體的重力加速度g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$；
（2）月球的加速度a月=$\frac{Gm}{{r}^{2}}$；
（3）已知r=60R，利用（1）（2）求$\frac{{a}_{月}}{g}$；
（4）已知r=3.8×10⁸m，月球繞地球運(yùn)動的周期T=27.3d，計算月球繞地球運(yùn)行的向心加速度a′_月；
（5）已知海拔高度為零、緯度為0°處的重力加速度g=9.78m/s2，用（4）中算出的a′_月求$\frac{a{′}_{月}}{g}$．

Answer 1

分析 萬有引力提供向心力，星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律列方程，然后求出相關(guān)的量，進(jìn)行答題．

解答 解：（1）地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，
即：G$\frac{mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$；
（2）月球繞地球做圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{mm″}{{r}^{2}}$=m″a_月，解得：a_月=$\frac{Gm}{{r}^{2}}$；
（3）已知：r=60R，
則：$\frac{{a}_{月}}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$=$\frac{{R}^{2}}{（60R）^{2}}$=$\frac{1}{3600}$；
（4）月球繞地球運(yùn)行的向心加速度：
a′_月=ω²r=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$=$\frac{4×3.1{4}^{2}×3.8×1{0}^{8}}{（27.3×24×60×60）^{2}}$≈0.00269m/s²；
（5）向心加速度與重力加速度之比為：$\frac{a{′}_{月}}{g}$=$\frac{0.00269}{9.78}$=2.75×10^-4；
答：（1）證明如上所述；（2）證明過程如上所述；
（3）已知r=60R，$\frac{{a}_{月}}{g}$為1：3600；
（4）已知r=3.8×10⁸m，月球繞地球運(yùn)動的周期T=27.3d，月球繞地球運(yùn)行的向心加速度a′_月為0.00269m/s²；
（5）已知海拔高度為零、緯度為0°處的重力加速度g=9.78m/s2，$\frac{a{′}_{月}}{g}$為2.75×10^-4．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題，本題計算量較大，計算時應(yīng)認(rèn)真細(xì)心，計算時要注意單位換算．