Question

3．如圖所示，a、b、c、d分別是四根半徑都為R、表面光滑的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個(gè)寬度極窄的狹縫1、2、3、4；在這些狹縫和四個(gè)圓柱所包圍的空間內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面指向紙里，整個(gè)空間為真空．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從A點(diǎn)由靜止經(jīng)電壓為U的電場(chǎng)加速后，沿與a、b都相切的方向由縫1射入磁場(chǎng)，恰好能從縫2沿與b、c都相切的方向射出．設(shè)粒子與圓柱表面只發(fā)生一次碰撞，碰撞后粒子的速度大小不變，方向相反，碰撞時(shí)間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大�。�
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用動(dòng)能定理求解粒子在加速電場(chǎng)中射出的速度，即粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大��；
（2）根據(jù)粒子與圓柱表面只發(fā)生一次碰撞就直接從縫2沿與b、c都相切的方向射出，利用對(duì)稱性可知粒子需要與d的柱面相碰于縫3、4間圓弧的中點(diǎn)，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B．

解答 解：（1）設(shè)帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²…①
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，在圖中紙面內(nèi)建立xoy坐標(biāo)系如圖所示，

原點(diǎn)O在狹縫1處，x軸過(guò)縫1和縫3，
根據(jù)題目要求和對(duì)稱性可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)與d的柱面相碰于縫3、4間圓弧的中點(diǎn)，
設(shè)其坐標(biāo)為x、y，則：
x=2R-Rsin45°…②
y=R-Rcos45°…③
設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，則由幾何關(guān)系得：
x²+（r-y）²=r²…④
由牛頓第二定律可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…⑤
聯(lián)立①②③④⑤式，解得：B=$\frac{1}{3R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{1}{3R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵是要明確粒子的受力情況，分析其運(yùn)動(dòng)形式，選擇合適的規(guī)律解題；要求大家熟練掌握洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系的解題思路．