Question

4．如圖所示，足夠長的光滑軌道DQ和半徑為R的光滑半圓形軌道ABC在豎直平面內(nèi)，與水平軌道QC分別相切于Q、C點(diǎn)，Q到C點(diǎn)的距離為2R．質(zhì)量為m的滑塊（視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道上的P點(diǎn)由靜止滑下，剛好能運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)．已知∠POC=60°，求：
（1）滑塊滑至半圓形軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（2）滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）現(xiàn)將滑塊從軌道DQ上某點(diǎn)靜止釋放，要使滑塊第一次能經(jīng)過半圓形軌道ABC而不脫離軌道，釋放點(diǎn)離水平軌道的高度必須滿足的條件；
（4）若從軌道DQ上離水平軌道的高度h=$\frac{9}{8}$R位置靜止釋放，滑塊最終靜止在距Q多遠(yuǎn)處？

Answer 1

分析 （1）由P到C的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出滑塊滑至C點(diǎn)時(shí)的速度，在C點(diǎn)，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力，從而得到滑塊對(duì)軌道的壓力．
（2）對(duì)P→C→Q過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求動(dòng)摩擦因數(shù)．
（3）要使滑塊第一次能經(jīng)過半圓形軌道ABC而不脫離軌道，有兩種情形：一種：滑塊能通過最高點(diǎn)A．另一種：滑塊最高到達(dá)B點(diǎn)．由牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，由動(dòng)能定理求解．
（4）結(jié)合上題結(jié)果，對(duì)整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）設(shè)滑塊滑至C點(diǎn)時(shí)的速度為v_C，此時(shí)半圓軌道對(duì)滑塊的支持力為F_N
由P到C的過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_c²，
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=2mg，
（2）對(duì)P→C→Q的過程，由動(dòng)能定理得：
  mgR（1-cos60°）-μmg•2R=0，
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.25；
（3）滑塊恰好能通過A點(diǎn)時(shí)，有 mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由動(dòng)能定理有 mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+2mgR+μmg•2R
解得 h₁=3R
所以釋放點(diǎn)離水平軌道的高度 h≥3R．
若滑塊恰好滑到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
  mgh₂-mgR-μmg•2R=0
解得 h₂=$\frac{3}{2}$R
若滑塊恰好滑到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
  mgh₃-μmg•2R=0
解得 h₂=$\frac{1}{2}$R
所以釋放點(diǎn)離水平軌道的高度 $\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R
綜上所述，釋放點(diǎn)離水平軌道的高度必須滿足的條件是：h≥3R或$\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R．
（4）當(dāng)h=$\frac{9}{8}$R時(shí)，由于$\frac{1}{2}$R＜$\frac{9}{8}$＜$\frac{3}{2}$R，所以滑塊最高點(diǎn)位于PC之間．
根據(jù)動(dòng)能定理得：
  mg•$\frac{9}{8}$R-μmgs=0
解得 x=4.5R
所以滑塊最終靜止在距Q0.5R遠(yuǎn)處．
答：
（1）滑塊滑至半圓形軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是2mg；
（2）滑塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.25；
（3）要使滑塊第一次能經(jīng)過半圓形軌道ABC而不脫離軌道，釋放點(diǎn)離水平軌道的高度必須滿足的條件是：h≥3R或$\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R；
（4）滑塊最終靜止在距Q0.5R遠(yuǎn)處．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和能量守恒定律，解決本題的關(guān)鍵靈活選取研究的過程，明確臨界條件，選用適當(dāng)?shù)囊?guī)律進(jìn)行求解．