Question

15．如圖所示，斜面直軌道是粗糧的，大、小圓軌道光滑且均與斜面直軌道相切，切點分別為C、B，圓形軌道的出人口錯開，大、小圓軌道的最高點跟斜面的最高點在同一水平線上，斜面直軌道的傾角為60°．今有一質(zhì)量為m的小球自A以初速度v₀沿斜面滑下，運動到B后進入小圓形軌道，接著再沿斜面下滑進人大圓形軌道運動，小球與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求：
（1）若小球恰能到達大圓軌道的最高點，則v₀應(yīng)滿足什么條件？
（2）在v₀滿足（1）的前提條件下，求小球在小圓軌道的最高點時對軌道的壓力．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求出大圓的半徑，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的臨界速度，通過動能定理求出初速度應(yīng)滿足的條件．
根據(jù)動能定理求出小球在小圓軌道最高點的速度，從而根據(jù)牛頓第二定律求出彈力的大小

解答 解：（1）設(shè)C處圓形軌道的半徑為R′，
則由幾何關(guān)系可知，A到B處圓軌圓心的距離為$A{O}_{1}=\frac{R}{sin30°}$，
而且$\frac{R′}{3R+R′}=sin30°$，
解得R′=3R，
斜面軌道AB=$Rcot30°=\sqrt{3}R={s}_{1}$，①
$AC=3Rcot30°=3\sqrt{3}R={s}_{2}$  ②
小球由A到C處圓形軌道的最高點的過程由動能定理有：
$-μmgcos60°•{s}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$   ③
由于小球恰能到達C處圓軌道的最高點，故v=$\sqrt{gR′}$．  ④
聯(lián)立①②③④解得${v}_{0}=\sqrt{6gR}$．    ⑤
（2）設(shè)小球到達B處圓形軌道的最高點的速度為v₁，
小球由A到B處圓形軌道最高點的過程，由動能定理有：
$-μmgcos60°•{s}_{1}=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$   ⑥
設(shè)小球在B處圓形軌道最高點受軌道壓力為F_N，
由牛頓第二定律可知，${F}_{N}+mg=\frac{{mv}_{1}^{2}}{R}$    ⑦
聯(lián)立①⑤⑥⑦解得F_N=4mg．
答：（1）小球恰能到達大圓軌道的最高點，則v₀應(yīng)滿足大于等于$\sqrt{6\sqrt{R}}$；
（2）小球在小圓軌道的最高點時受到的軌道的彈力大小是4mg

點評 本題考查了圓周運動和動能定理、牛頓第二定律的綜合，知道圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵，本題對數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強訓(xùn)練