Question

15．從A點(diǎn)斜向上拋出一個(gè)小球，小球到達(dá)B點(diǎn)后開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，曲線ABCD是小球運(yùn)動(dòng)的一段軌跡，建立如圖所示的正交坐標(biāo)系xOy，x軸沿水平方向，軌跡上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-L，0）、C（L，0），D（2L，3L），小球受到的空氣阻力忽略不計(jì)，求：
（1）小球通過(guò)BC和CD線段所用時(shí)間之比是多少？
（2）軌跡與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為多少？

Answer 1

分析 由圖知，小球的軌跡是二次函數(shù)，開(kāi)口向下，且過(guò)A（-L，0）、C（L，0），可設(shè)軌跡方程為 y=-a（x-L）（x+L），將D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，再求解B的坐標(biāo)．
在豎直方向物體從B到D做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)位移時(shí)間公式求得時(shí)間即可

解答 解：由圖象可知，小球的軌跡是二次函數(shù)，開(kāi)口向下，且過(guò)A（-L，0）、C（L，0），
設(shè)軌跡方程為：y=-a（x-L）（x+L）
將D的坐標(biāo) x=2L，y=3L代入上式得：a=-$\frac{1}{L}$
則 y=$\frac{1}{L}$（x-L）（x+L）
當(dāng)x=0，得：y=-L，故B的坐標(biāo)為（0，-L），
根據(jù)題意可知，B點(diǎn)為最高點(diǎn)，故從B點(diǎn)在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可知
小球通過(guò)BC所需時(shí)間${t}_{BC}=\sqrt{\frac{2L}{g}}$
通過(guò)BD所需時(shí)間${t}_{BD}=\sqrt{\frac{8L}{g}}$
故通過(guò)CD所需時(shí)間${t}_{CD}={t}_{BD}-{t}_{BC}=\sqrt{\frac{2L}{g}}$
小球通過(guò)BC和CD線段所用時(shí)間之比是$\frac{{t}_{BC}}{{t}_{CD}}=\frac{1}{1}$
答：（1）小球通過(guò)BC和CD線段所用時(shí)間之比是1：1
（2）軌跡與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為為（0，-L）

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握二次函數(shù)方程的一般表達(dá)式，運(yùn)用代入求值的方法求a．