Question

4．如圖所示，足夠長(zhǎng)的金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置，間距為L(zhǎng)=0.5m，與水平面成θ=30°角，導(dǎo)軌與定值電阻R₁和R₂相連，且R₁=R₂=2Ω，R₁支路串聯(lián)開(kāi)關(guān)S，原來(lái)S閉合．勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向上，有一質(zhì)量為m=1.6kg、長(zhǎng)度為L(zhǎng)=0.5m、電阻為r=2Ω的導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌垂直放置，它與導(dǎo)軌的接觸粗糙且始終接觸良好，現(xiàn)讓導(dǎo)體棒ab從靜止開(kāi)始釋放，沿導(dǎo)軌下滑，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)速率為v=2m/s，此時(shí)整個(gè)電路消耗的電功率為重力功率的$\frac{3}{4}$．重力加速度g取10m/s²，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后導(dǎo)體棒ab中的電流強(qiáng)度I；
（2）如果導(dǎo)體棒ab從靜止釋放沿導(dǎo)軌下滑x=1.2m距離后運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在這一過(guò)程中回路中產(chǎn)生的電熱是多少？
（3）導(dǎo)體棒ab達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，從這時(shí)開(kāi)始導(dǎo)體棒ab下滑一段距離后，通過(guò)導(dǎo)體棒ab橫截面的電量為q=0.6C，求這段距離是多少？
（4）文字描述斷開(kāi)S后導(dǎo)體棒ab的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，并盡可能多的求出該過(guò)程中描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)速率為V，重力功率為mgVsinθ．由E=BLV、I=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}$、
P_電=I²R_總，得到回路的總電功率P_電，根據(jù)電功率為重力功率的$\frac{3}{4}$，列式求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．并求出通過(guò)ab棒的電流I；
（2）根據(jù)重力功率等于電功率與克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中產(chǎn)生的電熱；
（3）S斷開(kāi)后，由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=It，得到電量q與距離的關(guān)系，即可求出距離；
（4）當(dāng)斷開(kāi)后，根據(jù)安培力與速度的關(guān)系，結(jié)合牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）S閉合，回路中的總電阻為：R_總=3Ω
當(dāng)ab棒勻速下滑時(shí)，電動(dòng)勢(shì)為：$I=\frac{BLV}{R_總}(cāng)$
棒中的感應(yīng)電流為：$I=\frac{BLV}{R_總}(cāng)$
總電功率為：P_總=I²R_總
重力的功率為：P_G=mgvsinθ
據(jù)題設(shè)條件有：${I^2}{R_總}(cāng)=\frac{3}{4}mgvsinθ$
解得：$I=\frac{{\sqrt{mgvsinθ}}}{2}$=2A               
B=6T；                           
（2）設(shè)導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦力為f，由能量守恒有：
$fv=\frac{1}{4}mgvsinθ$
解得：$f=\frac{1}{4}mgsinθ=2N$
$Q=\frac{3}{4}mgsinθ•x-\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$Q=\frac{3}{4}mgsinθ•x-\frac{1}{2}m{v^2}$=4J        
（3）S斷開(kāi)后，回路中的總電阻為：R'_總=2R₁=4Ω
設(shè)這一過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間為△t，通過(guò)導(dǎo)體棒ab的平均感應(yīng)電流為：$q=\bar I△t=\frac{△Φ}{R_總}(cāng)=\frac{BLx}{R_總}(cāng)$，
導(dǎo)體棒ab下滑的距離為x，則得：$q=\bar I△t=\frac{△Φ}{R_總}(cāng)=\frac{BLx}{R_總}(cāng)$
解得：x=0.8m                                
（4）斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S時(shí)，電路總電阻變大，總電流變小，導(dǎo)體棒受到的安培力減小，
所以導(dǎo)體棒將做加速運(yùn)動(dòng)．而隨著速度增大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)增大，電流增大，
因此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)體棒受到的安培力不斷增大，合外力減小，加速度減�。�
故斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S后，電路總電阻變大，導(dǎo)體棒做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)．
斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S時(shí)：$I′=\frac{BLv}{{R}_{總}(cāng)^{′}}=\frac{6×0.5×2}{4}A$=1.5A
${F_安}=B{I^'}L=6×1.5×0.5N=4.5N$
${a_1}=\frac{{mgsinθ-f-{F_安}}}{m}=\frac{8-2-4.5}{1.6}m/{s^2}=\frac{15}{16}m/{s^2}=0.9375m/{s^2}$
經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，合力為零，加速度為零，導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)．
$mgsinθ=f+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{′}}{{R}_{總}(cāng)^{′}}$
解得：${v}_{m}^{′}=\frac{（mgsinθ-f）{R}_{總}(cāng)^{′}}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{8}{3}m/s$≈2.67m/s；
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小6T和達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后導(dǎo)體棒ab中的電流強(qiáng)度2A；
（2）在這一過(guò)程中回路中產(chǎn)生的電熱是4J；
（3）這段距離是0.8m；
（4）斷開(kāi)S后導(dǎo)體棒ab的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，最終速度為2.67m/s．

點(diǎn)評(píng) 解答本題關(guān)鍵是通過(guò)分析功率關(guān)系，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度和摩擦力，是電磁感應(yīng)與電路結(jié)合的題目，明確電路的結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題．同時(shí)，對(duì)于感應(yīng)電量，要很熟練地根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=It進(jìn)行推導(dǎo)，并掌握安培力與速度關(guān)系式．