Question

3．“神州”六號(hào)飛船在預(yù)定軌道上飛行，每繞地球一周需要時(shí)間T（約90min），每圈飛行路程約為L(zhǎng)．已知地球的半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為Tn以及萬(wàn)有引力常量G．（計(jì)算結(jié)果直接用已知物理量表示）
（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算地球的質(zhì)量和密度；
（2）假設(shè)飛船沿赤道平面自西向東飛行，飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊還是西邊出來(lái)？
（3）如果太陽(yáng)直射赤道，試著估算飛行員每天能看到多少次日出日落？
（4）飛船每轉(zhuǎn)一圈飛行員看不見(jiàn)太陽(yáng)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，其中r=$\frac{L}{2π}$，化簡(jiǎn)可得地球的質(zhì)量．
根據(jù)密度的定義式求得密度．
地球自西向東旋轉(zhuǎn)，飛船沿赤道平面自西向東飛行的速度大于地球旋轉(zhuǎn)速度，飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊出來(lái)．

解答 解：（1）由L=2πr可得  r=$\frac{L}{2π}$
飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球質(zhì)量為M，有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
M=$\frac{1}{G}$×$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{L}^{3}}{2G{πT}^{2}}$，
根據(jù)密度的定義式得
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{{3L}^{3}}{{{{8Gπ}^{2}R}^{3}T}^{2}}$，
（2）地球自西向東旋轉(zhuǎn)，飛船沿赤道平面自西向東飛行的速度大于地球旋轉(zhuǎn)速度，飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊出來(lái)．
（3）地球自轉(zhuǎn)的周期為24h，地球自轉(zhuǎn)一周，飛船運(yùn)轉(zhuǎn)24×$\frac{60}{90}$=16圈，飛船運(yùn)轉(zhuǎn)一圈能看到一次日出日落，所以飛行員每天能看到16次日出日落．

（4）飛船轉(zhuǎn)到地球的背影區(qū)飛行員就看不到太陽(yáng)（如上圖所示）．
由圖可知sinα=$\frac{R}{r}$=0.95，
則α=71.8⁰
飛行員每轉(zhuǎn)一圈看不見(jiàn)日出的時(shí)間為t=$\frac{71.8°×2}{360°}$×90min≈36min．
答：（1）地球的質(zhì)量是$\frac{{L}^{3}}{2G{πT}^{2}}$，密度是$\frac{{3L}^{3}}{{{{8Gπ}^{2}R}^{3}T}^{2}}$；
（2）假設(shè)飛船沿赤道平面自西向東飛行，飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊出來(lái)．
（3）如果太陽(yáng)直射赤道，試著估算飛行員每天能看到16次日出日落；
（4）飛船每轉(zhuǎn)一圈飛行員看不見(jiàn)太陽(yáng)的時(shí)間有36min．

點(diǎn)評(píng) 解答本題知道飛船所受的萬(wàn)有引力提供向心力，利用周期與軌道半徑表示向心力，然后結(jié)合萬(wàn)有引力定律求解．