Question

4．如圖所示，光滑水平軌道ab、cd在a、d端很接近但不接觸，點(diǎn)a、d到bc邊的距離均為4L，b、c間有一阻值為R的定值電阻，豎直向下的勻強(qiáng)磁場垂直穿過軌道面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m，長為L的金屬桿在水平外力F的作用下，以初速度v₀從bc位置開始向左做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中保持桿中電流不變，金屬桿和軌道的電阻不計(jì)．求：
（1）桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L時(shí)速度的大��；
（2）桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L過程中，水平外力做的功；
（3）桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）分別求出在bc位置和在桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L時(shí)的感應(yīng)電流，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程中保持桿中電流不變，求出桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L時(shí)速度的大�。�
（2）先求出在桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L過程中，安培力做的功，再利用動(dòng)能定理，求出水平外力做的功；
（3）利用安培力所做的功等于電阻R產(chǎn)生的焦耳熱，列式求出桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L用的時(shí)間．

解答 解：（1）當(dāng)金屬桿在bc位置時(shí)，有效切割長度為L，速度為v₀，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁=BLv₀，感應(yīng)電流I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
當(dāng)桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L時(shí)，有效切割長度變?yōu)?\frac{L}{2}$，速度設(shè)為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)${E}_{2}=B\frac{L}{2}v$，感應(yīng)電流${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{R}$
由于動(dòng)過程中保持桿中電流不變，則有I₁=I₂，可得v=2v₀；
（2）在桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L過程中，安培力做負(fù)功，大小為${W}_{1}=-B{I}_{1}（\frac{\frac{L}{2}+L}{2}）•2L$=$\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$
則由動(dòng)能定理有${W}_{F}+{W}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：W_F=$\frac{3}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
（3）安培力所做的功等于電阻R產(chǎn)生的焦耳熱，則有
$\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$=${I}_{1}^{2}Rt$
解得t=$\frac{3L}{2{v}_{0}}$
答：（1）桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L時(shí)速度的大小為2v₀；
（2）桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L過程中，水平外力做的功為$\frac{3}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{3{B}^{2}{L}^{3}{v}_{0}}{2R}$；
（3）桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L用的時(shí)間為=$\frac{3L}{2{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查電磁感應(yīng)和安培力，解題的突破點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)過程中保持桿中電流不變，這樣可以求出桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L時(shí)速度的大小，再結(jié)合動(dòng)能定理和焦耳定律求出桿向左運(yùn)動(dòng)距離為2L過程中，水平外力做的功和運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．