Question

19．如圖所示的平行板之間，存在著相互垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.20T，方向垂直紙面向里，電場(chǎng)強(qiáng)度E₁=1.0×10⁵ V/m，PQ為板間中線．緊靠平行板右側(cè)邊緣xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，有一邊界線AO，與y軸的夾角∠AOy=45°，邊界線的上方有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.25T，邊界線的下方有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E₂=5.0×10⁵ V/m，在x軸上固定一水平的熒光屏．一束帶電荷量q=8.0×10^-19 C、質(zhì)量m=8.0×10^-26 kg的正離子從P點(diǎn)射入平行板間，沿中線PQ做直線運(yùn)動(dòng)，穿出平行板后從y軸上坐標(biāo)為（0，0.4m）的Q點(diǎn)垂直y軸射入磁場(chǎng)區(qū)，最后打到水平的熒光屏上的位置C．求：（不計(jì)離子的重力影響）
（1）離子在平行板間運(yùn)動(dòng)的速度大小；
（2）離子打到熒光屏上的位置C的坐標(biāo)；
（3）現(xiàn)只改變AOy區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂′應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡時(shí)，即可求解；
（2）離子在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可求出半徑；離子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出發(fā)生位移，從而確定離子打到熒光屏的水平坐標(biāo)；
（3）根據(jù)幾何知識(shí)來畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，求出最大半徑，并結(jié)合牛頓第二定律，求出磁場(chǎng)滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)離子的速度大小為v，由于沿中線PQ做直線運(yùn)動(dòng)
則有qE₁=qvB₁，
代入數(shù)據(jù)解得：v=5.0×10⁵ m/s．
（2）離子進(jìn)入磁場(chǎng)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律有qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得，r=0.2 m，
作出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，交OA邊界于N，如圖甲所示，OQ=2r，
若磁場(chǎng)無邊界，一定通過O點(diǎn)，則圓弧QN的圓周角為45°，
則軌跡圓弧的圓心角為θ=90°，過N點(diǎn)做圓弧切線，方向豎直向下，
離子垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)
y=OO′=vt   
 x=$\frac{1}{2}$at²
而a=$\frac{q{E}_{2}}{m}$      
則x=0.4 m
離子打到熒光屏上的位置C的水平坐標(biāo)為x_C=（0.2+0.4）m=0.6 m．
（3）只要粒子能跨過AO邊界進(jìn)入水平電場(chǎng)中，粒子就具有豎直向下的速度而一定打在x軸上．如圖乙所示，由幾何關(guān)系可知使離子不能打到x軸上的最大半徑r′=$\frac{0.4}{\sqrt{2}+1}$ m
設(shè)使離子都不能打到x軸上，最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀
則qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，代入數(shù)據(jù)解得B₀=$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$ T=0.3 T，
則B₂′≥0.3 T．
答：（1）離子在平行板間運(yùn)動(dòng)的速度大小5.0×10⁵ m/s；
（2）離子打到熒光屏上的位置C的水平坐標(biāo)0.6 m；
（3）現(xiàn)只改變AOy區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂′應(yīng)滿足大于0.3T．

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)中，用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，并結(jié)合幾何關(guān)系來處理這兩種運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)的分解，并突出準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖．