Question

17．如圖所示，半徑為R的半圓形軌道豎直固定在水平桌面上，圓心O與軌道上邊沿和滑輪上邊沿在同一水平線上，軌道最低點(diǎn)a與桌面相切．Oc與Oa的夾角為60°，A、B兩球用跨過滑輪的輕繩連接（兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)）．A球從c點(diǎn)由靜止釋放后沿圓軌道滑到a點(diǎn)時(shí)速度恰好為零．設(shè)輕繩足夠長(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦．在此過程中下列說法正確的是（　�。�

• A． 重力對(duì)A球做功的功率先變大后變小
• B． 兩球速度大小始終相等
• C． 繩上的拉力始終大于B球重力
• D． A、B兩小球的質(zhì)量之比為2：1

Answer 1

分析 m₁、m₂兩個(gè)小球用繩子連在一起，兩球沿繩子方向的速度是一樣的；
在m₁滑下去一段距離后，繩子與圓的切線是不重合，兩球的速度不等；
分析豎直方向速度的變化情況求解，若m₁恰好能沿圓弧軌道下滑到A點(diǎn)，此時(shí)兩小球速度均為零，根據(jù)動(dòng)能定理求解質(zhì)量關(guān)系．

解答 解：A、小球A向下運(yùn)動(dòng)的過程中，重力的功率：P=mgv_豎直，開始時(shí)速度向下的分量逐漸增大，則開始時(shí)重力的瞬時(shí)功率增大；小球A到達(dá)a時(shí)豎直方向的分速度為0，可知小球A向下的分速度達(dá)到某一個(gè)最大值后一定又逐漸減小，所以重力對(duì)A球做功的功率先變大后變�。�故A正確；
B、m₁由c點(diǎn)下滑到a的過程中，沿繩子方向的速度是一樣的，在m₁滑下去一段過程以后，此時(shí)的繩子與圓的切線是不重合，而是類似于圓的一根弦線而存在，m₁的速度大于m₁沿繩子的分速度，而m₂的速度大小等于繩子的速度大小，則m₁的速率大于m₂速率，故B錯(cuò)誤；
C、由題可知，兩個(gè)小球的速度都是先增大后減小，當(dāng)B向上的速度增大時(shí)，加速度的方向向上，繩上的拉力大于B球重力；而當(dāng)B向上減速時(shí)，加速度的方向向下，繩上的拉力小于B球重力．故C錯(cuò)誤；
D、c點(diǎn)到軌道的上沿的距離：l=$\sqrt{{R}^{2}+{R}^{2}-2{R}^{2}cos30°}=\sqrt{2-\sqrt{3}}R$
若m₁恰好能沿圓弧軌道下滑到a點(diǎn)，此時(shí)兩小球速度均為零，由動(dòng)能定理得：m₁gR（1-cos60°）-m₂g（$\sqrt{2}$R-l）=0-0，解得：${m}_{1}=（2\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}）{m}_{2}$，故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題解題的關(guān)鍵是對(duì)兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)情況的分析，知道小球做什么運(yùn)動(dòng)，并能結(jié)合動(dòng)能定理、幾何關(guān)系解題，難度適中．