Question

【題目】如圖，在水平軌道右側(cè)固定半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為l ， 水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)。可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊從軌道右側(cè)A點(diǎn)以初速度v0沖上軌道，通過(guò)圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧，并被彈簧以原速率彈回。已知R＝0.4 m，l＝2.5 m，v0＝6 m/s，物塊質(zhì)量m＝1kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，軌道其它部分摩擦不計(jì)。取g＝10 m/s2。求：

（1）物塊經(jīng)過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）物塊從Q運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間及彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能；
（3）物塊仍以v0從右側(cè)沖上軌道，調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度l ， 當(dāng)l長(zhǎng)度是多少時(shí)，物塊恰能不脫離軌道返回A點(diǎn)繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)。

Answer 1

【答案】
（1）

物塊沖上圓形軌道最高點(diǎn)B時(shí)速度為v0=6m/s，

由機(jī)械能守恒得：

物塊到B點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得： 代入數(shù)據(jù)解得N=40N

由牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道壓力大小為40N，方向?yàn)樨Q直向上

（2）

物塊在Q點(diǎn)時(shí)速度為v0＝6 m/s，在PQ運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：

由運(yùn)動(dòng)規(guī)律

代入數(shù)據(jù)解得在PQ段運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t= s

設(shè)物塊在P點(diǎn)時(shí)速度為v1，有

由能量守恒，物塊壓縮彈簧，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，有

代入數(shù)據(jù)解得Epm = 8J

（3）

物塊以v0沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)Q點(diǎn)時(shí)速度為v2，有

要使物塊恰能不脫離軌道返回A點(diǎn)，則物塊能沿軌道上滑至最高點(diǎn)且在最高點(diǎn)的速度大小為v3，則滿足 且

代入數(shù)據(jù)解得l＝1 m.

【解析】(1)物塊沖上圓形軌道最高點(diǎn)B時(shí)速度為v0=6m/s，
由機(jī)械能守恒得：
物塊到B點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得： 代入數(shù)據(jù)解得N=40N
由牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道壓力大小為40N，方向?yàn)樨Q直向上 (2)物塊在Q點(diǎn)時(shí)速度為v0＝6 m/s，在PQ運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
由運(yùn)動(dòng)規(guī)律
代入數(shù)據(jù)解得在PQ段運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t= s
設(shè)物塊在P點(diǎn)時(shí)速度為v1 ， 有
由能量守恒，物塊壓縮彈簧，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，有
代入數(shù)據(jù)解得Epm = 8J (3)物塊以v0沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)Q點(diǎn)時(shí)速度為v2 ， 有
要使物塊恰能不脫離軌道返回A點(diǎn)，則物塊能沿軌道上滑至最高點(diǎn)且在最高點(diǎn)的速度大小為v3 ， 則滿足且
代入數(shù)據(jù)解得l＝1 m.