Question

20．字宙中有很多獨(dú)立的雙星系統(tǒng)．如圖為某一雙星系統(tǒng)，兩星A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)．A、B圍繞它們連線的中點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，引力常量為G．
（1）雙星之間的引力F可等效為位于0點(diǎn)處質(zhì)量為M的星體（可視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它們的引力，試求雙星的總質(zhì)量與M的比值．
（2）若只考慮雙星之間的引力，得到A星運(yùn)行速率v與運(yùn)行周期T，求A星的質(zhì)量．
（3）實(shí)際觀察A星運(yùn)行速率v′比v大很多，設(shè)v′=kv，科學(xué)家猜想造成這一現(xiàn)象的原因是在以0點(diǎn)為球心的很小半徑的空間存在一個(gè)質(zhì)量巨大、密度巨大的看不見(jiàn)的物體即黑洞，正是這個(gè)黑洞對(duì)雙星的強(qiáng)大引力造成的，當(dāng)黑洞的質(zhì)量比A星的質(zhì)量大10⁸倍或以上時(shí)，就可認(rèn)為這一猜想成立，試說(shuō)明觀測(cè)到k值為多少時(shí)，這一猜想成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力定律和引力相等的條件列式，即可求解．
（2）A星的向心力由B對(duì)它的萬(wàn)有引力提供，由此列式求解．
（3）若認(rèn)為這一猜想成立，雙星由相互的萬(wàn)有引力和黑洞的萬(wàn)有引力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求解．

解答 解：（1）設(shè)A、B的質(zhì)量均為m．A、B間的距離為L(zhǎng)．
據(jù)題有：G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$=G$\frac{Mm}{（0.5L）^{2}}$
得 m=4M
故雙星的總質(zhì)量與M的比值為 2m：M=8
（2）若只考慮雙星之間的引力，則：
對(duì)A星有：G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{1}{2}L}$
又v=$\frac{2π•\frac{1}{2}L}{T}$
聯(lián)立解得：m=$\frac{2{v}^{3}T}{πG}$
（3）若認(rèn)為這一猜想成立，則對(duì)A星有：
  G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$+G$\frac{1{0}^{8}m•m}{（\frac{1}{2}L）^{2}}$=m$\frac{（kv）^{2}}{\frac{1}{2}L}$
解得：k≈2×10⁴
答：（1）雙星的總質(zhì)量與M的比值是8．
（2）A星的質(zhì)量為$\frac{2{v}^{3}T}{πG}$．
（3）觀測(cè)到k值為2×10⁴時(shí)，這一猜想成立．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵抓住恒星的角速度相等，分析向心力的來(lái)源，結(jié)合萬(wàn)有引力和向心力公式進(jìn)行求解．