Question

2．在如圖所示的圓錐擺中，已知繩子長度為L=2m，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中與豎直方向夾角為θ=37°，擺球質(zhì)量為2kg，擺線系于O點(diǎn)，O點(diǎn)離地面的距離OA=2.4m．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）試求：
（1）擺繩的拉力和擺球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度；
（2）若其他條件不變，在擺球以第（1）問中角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺繩突然斷裂停擺，球被拋出后最后落地，求擺球落地點(diǎn)與地面A點(diǎn)的距離S，落地時(shí)的速度的大小和方向．

Answer 1

分析 小球受重力、拉力，靠兩個(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出繩子的拉力大�。�根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�

解答 解：（1）根據(jù)平行四邊形定則知，擺繩的拉力F=$\frac{mg}{cos37°}=\frac{20}{0.8}N=25N$．
根據(jù)牛到第二定律得，mgtan37°=mLsin37°ω²，
解得ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}=\sqrt{\frac{10}{2×0.8}}rad/s=2.5rad/s$．
（2）擺繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v₀=Lsinθω=2×0.6×2.5m/s=3m/s，
平拋運(yùn)動(dòng)的高度h=2.4-Lcos37°=2.4-2×0.8m=0.8m，
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x=v₀t=3×0.4m=1.2m，
根據(jù)幾何關(guān)系得，擺球落地點(diǎn)與地面A點(diǎn)的距離S=$\sqrt{{x}^{2}+（Lsin37°）^{2}}=\sqrt{1.44+1.44}$m=$1.2\sqrt{2}$m．
落地時(shí)豎直分速度v_y=gt=10×0.4m/s=4m/s，
根據(jù)平行四邊形定則得，落地的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}m/s=5m/s$，
設(shè)速度方向與水平方向的夾角為α，則$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{4}{3}$，解得α=53°．
答：（1）擺繩的拉力為25N，擺球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為2.5rad/s．
（2）擺球落地點(diǎn)與地面A點(diǎn)的距離為$1.2\sqrt{2}m$，落地時(shí)的速度的大小為5m/s，方向與水平方向的夾角為53°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．