Question

11．小球A和小球B位于同一豎直線上，相距為L(zhǎng)，小球B離水平地面高度為h，兩球同時(shí)由靜止釋放，如圖所示．球A的質(zhì)量為m，球B的質(zhì)量為2m．設(shè)所有碰撞都是彈性碰撞，重力加速度大小為g，忽略球的直徑、空氣阻力及碰撞時(shí)間．
（1）求球B第一次落地時(shí)球A的速度大��；
（2）若球B在第一次上升過程中就能與球A相碰，求L和h的關(guān)系；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點(diǎn)更高的位置，求L和h的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）A、B均做自由落體運(yùn)動(dòng)，求出B球的下降時(shí)間，便可得到A球的速度
（2）要想在上升階段兩球相碰，臨界情況是B剛好反跳回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)與A相碰，據(jù)此求出A球的最大高度
（3）要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點(diǎn)更高的位置，臨界情況是A與B碰后，A球速度恰好等大反向，由彈性碰撞過程動(dòng)量守恒可求解．

解答 解：（1）設(shè)B第一次落地經(jīng)歷的時(shí)間為t₁，由$h=\frac{1}{2}gt_1^2$得：
${t_1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
此時(shí)A的速度為：$v=g{t_1}=\sqrt{2gh}$
（2）從開始下落到B第一次上升到最高點(diǎn)所需的時(shí)間為：t₂=2t₁
若要A、B相碰則需A在此時(shí)間內(nèi)落到B的最高點(diǎn)以下，當(dāng)在B的最高點(diǎn)相碰時(shí)，A的高度最高，
則有$L=\frac{1}{2}gt_2^2$，得：
L=5h
得：h＜L＜5h．
（3）設(shè)A下落的時(shí)間為t，此時(shí)A的速度v_A=gt，B落地時(shí)的速度為$\sqrt{2gh}$，t時(shí)刻B的速度為：
${v_B}=\sqrt{2gh}-g（t-{t_1}）$
A、B碰撞過程是彈性碰撞，所以遵循動(dòng)量守恒，規(guī)定向下為正方向，
有：2mv_B-mv_A=mv′_A-2mv′_B
能量守恒有：$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}×2m×$${v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v′}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}×2m×$${v′}_{B}^{2}$
要使第一次碰后能達(dá)到比其釋放點(diǎn)更高，則需A碰后速度大于碰前的速度，即：v′_A＞v_A
以上各式聯(lián)立得$t＜\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$得A下落的高度為：$H=\frac{1}{2}g{t^2}＜\frac{9}{4}h$
又H≥L，得：$h＜L＜\frac{9}{4}h$．
答：（1）球B第一次落地時(shí)球A的速度大小是$\sqrt{2gh}$；
（2）若球B在第一次上升過程中就能與球A相碰，L和h的關(guān)系是h＜L＜5h；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點(diǎn)更高的位置，L和h的關(guān)系是$h＜L＜\frac{9}{4}h$．

點(diǎn)評(píng) 該題通過一種特殊的方式考查豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，抓住碰撞前后動(dòng)量守恒、能量守恒，本題難度較大，對(duì)學(xué)生的思維有挑戰(zhàn)．