Question

10．如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在t=0時(shí)刻，一位于ad邊中點(diǎn)O的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od邊的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)．已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t₀時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界cd上的p點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于正方形邊長(zhǎng)L，粒子重力不計(jì)．求：
（1）粒子的比荷．
（2）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在0～180°范圍內(nèi)均勻分布，此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比．
（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間．（可用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出軌跡，再結(jié)合幾何知識(shí)求出圓心角，結(jié)合周期公式進(jìn)行求解．
（2）同一時(shí)刻在磁場(chǎng)中的粒子到O點(diǎn)的距離應(yīng)相等，在t=t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為圓心、OK為半徑的圓弧上，畫(huà)出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求得在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子區(qū)域的圓心角，即可求得仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比．
（3）由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的軌跡半徑相等，運(yùn)動(dòng)軌跡最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間也最長(zhǎng)，畫(huà)出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)確定出該粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求出最長(zhǎng)時(shí)間，即為從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間．

解答 解：（1）初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，其圓心為n，由幾何關(guān)系有：$∠onp=\frac{π}{6}$
${t}_{0}=\frac{T}{12}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得
$qvB=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$，
v=$\frac{2πR}{T}$，
得：$\frac{q}{m}=\frac{π}{6B{t}_{0}}$．

（2）依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子到O點(diǎn)距離相等．在t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為圓心，Op為半徑的弧pw上．
由圖知$∠pow=\frac{5π}{6}$，
此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為$\frac{5}{6}$，
（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場(chǎng)邊界b點(diǎn)相交
設(shè)此粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則$sin\frac{θ}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間$t=\frac{θ}{2π}T$=$\frac{12arcsin\frac{\sqrt{5}}{4}}{π}{t}_{0}$，
所以從粒子發(fā)射到全部離開(kāi)所用時(shí)間為$t=（\frac{12}{π}arcsin\frac{\sqrt{5}}{4}）{t}_{0}$．
答：（1）粒子的比荷為$\frac{π}{6B{t}_{0}}$；
（2）此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比為$\frac{5}{6}$．
（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間為$（\frac{12}{π}arcsin\frac{\sqrt{5}}{4}）{t}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 遇到帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，首先要根據(jù)左手定則畫(huà)出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出半徑、圓心角，然后再根據(jù)物理規(guī)律列式求解．