Question

13．2011年8月，“嫦娥二號(hào)”在完成探月飛行任務(wù)后成功進(jìn)入了繞“日地拉格朗日點(diǎn)”的軌道，我國成為世界上第三個(gè)造訪該點(diǎn)的國家，如圖所示，該拉格朗日點(diǎn)位于太陽和地球連線的延長線上，一飛行器位于該點(diǎn)，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，若已知太陽與地球的中心間距離為R，地球中心與此飛行器間的距離為D，地球質(zhì)量為M，萬有引力常量G，求此飛行器的運(yùn)行周期T．（對(duì)于飛行器，只考慮太陽和地球?qū)Υ孙w行器的萬有引力；對(duì)于地球，只考慮太陽對(duì)地球的萬有引力）

Answer 1

分析 對(duì)于地球，靠太陽的萬有引力提供向心力，對(duì)于飛行器，靠地球和太陽引力的合力提供向心力，抓住飛行器和地球的周期相等，聯(lián)立方程組求出飛行器的運(yùn)行周期．

解答 解：對(duì)地球，有：$G\frac{M{M}_{太}}{{R}^{2}}=MR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
對(duì)飛行器有：$G\frac{Mm}{{D}^{2}}+G\frac{{M}_{太}m}{（R+D）^{2}}=m（R+D）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
聯(lián)立兩式解得T=$\frac{2πD}{R+D}•\sqrt{\frac{（R+D）^{3}-{R}^{3}}{GM}}$．
答：此飛行器的運(yùn)行周期T為 $\frac{2πD}{R+D}•\sqrt{\frac{（R+D）^{3}-{R}^{3}}{GM}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬有引力的應(yīng)用，題目較為新穎，在解題時(shí)要注意分析向心力的來源及題目中隱含的條件．