Question

7．“嫦娥工程”計(jì)劃在第二步向月球發(fā)射一個軟著陸器，在著陸器附近進(jìn)行現(xiàn)場勘測．已知地球的質(zhì)量約為月球質(zhì)量的80倍，地球的半徑約為月球半徑的4倍，地球表面的重力加速度為g_地=10m/s²，地球的第一宇宙速度為7.9km/s．假設(shè)將來測得著陸器撞擊月球表面后又豎直向上彈起，并且經(jīng)過2s鐘后落回到月球表面．試求：（1）它彈起時的初速度v₀．
（2）月球的第一宇宙速度是多少．（不考慮地球和月球的自轉(zhuǎn)；結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{mM}{{r}^{2}}$，在地球表面：$G\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}=m{g}_{地}$，在月球表面：$G\frac{{M}_{2}m}{{R}_{2}^{2}}=m{g}_{月}$，根據(jù)地球和月球的質(zhì)量和半徑的比值關(guān)系，可以計(jì)算出月球表面的重力加速度．再根據(jù)豎直上拋的特點(diǎn)，速度具有對稱性，即豎直上拋的初速度等于落回時的速度大小，由速度公式可求出初速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力求得月球的第一宇宙速度．

解答 解：設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M₁和M₂，半徑分別為R₁和R₂，
月球表面的重力加速度為g_月，設(shè)著陸器的質(zhì)量為m，則有：
在地球表面：$G\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}=m{g}_{地}$        
在月球表面：$G\frac{{M}_{2}m}{{R}_{2}^{2}}=m{g}_{月}$
又M₁=81M₂、R₁=4R₂
得：${g}_{月}=\frac{16}{81}{g}_{地}$
由豎直上拋的規(guī)律有：$t=\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$$\frac{{g}_{月}t}{2}=\frac{\frac{16}{81}×10×2}{2}m/s≈2.0m/s$
（2）在星球表面有：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{V^2}{R}$
可得星球的第一宇宙速度$V=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
所以$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}=\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}}}}=\frac{9}{2}$
所以${v}_{月}=\frac{2}{9}{v}_{地}=\frac{2}{9}×7.9km/s=1.8km/s$
答：（1）它彈起時的初速度v₀為2.0m/s；
（2）月球的第一宇宙速度是1.8km/s．

點(diǎn)評 在星球表面重力與萬有引力相等，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，這是解決本題的關(guān)鍵因素，掌握豎直上拋的原理．