Question

7．在如圖所示的裝置中，懸掛在某固定點(diǎn)的光滑定滑輪上繞有柔軟細(xì)線．細(xì)線的一端系一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿，另一端系一質(zhì)量為3m的重物．在豎直平面內(nèi)有間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電阻．其余電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直，開始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端QF處，將重物由靜止釋放，當(dāng)重物下降h時(shí)恰好達(dá)到穩(wěn)定速度而勻速下降．運(yùn)動(dòng)過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．忽略所有摩擦，重力加速度為g，求：
（1）電阻R中的感應(yīng)電流方向；
（2）重物勻速下降的速度v；
（3）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R：
（4）若將重物下降h時(shí)刻記作t=0，速度記為v₀，從此時(shí)刻起，磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，若此后金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B怎樣隨時(shí)間t變化（寫出B與t的關(guān)系式）

Answer 1

分析 （1）由右手定則判斷出感應(yīng)電流方向，判斷出R中的電流方向．
（2）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，受力平衡．推導(dǎo)出安培力，由平衡條件列式求出速度v．
（3）重物從釋放到下降h的過程中，重物的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為桿的重力勢(shì)能和動(dòng)能、重物的動(dòng)能及整個(gè)回路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)串聯(lián)電路電流關(guān)系，求出電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q_R；
（4）當(dāng)回路中總磁通量不變時(shí)，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，此時(shí)棒將導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)磁通量不變，列式求B與t的關(guān)系式．

解答 解：（1）釋放重物后，金屬桿向上運(yùn)動(dòng)，由右手定則可知，電阻R中的感應(yīng)電流方向?yàn)镼→R→F；
（2）重物勻速下降時(shí)，金屬棒勻速上升，處于平衡狀態(tài)，
對(duì)金屬棒，由平衡條件得：T=mg+F，
金屬棒受到的安培力：F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
對(duì)重物，由平衡條件得：T=3mg，
解得：v=$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（3）設(shè)電路中產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，由能量守恒定律得：
3mgh-mgh=$\frac{1}{2}$•（3m）v²+$\frac{1}{2}$mv²+Q，
電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，
解得：Q_R=$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$；
（4）金屬桿中恰好不產(chǎn)生感應(yīng)電流，即磁通量不變：Φ₀=Φ_t，
hLB₀=（h+h₂）LB_t，
h₂=$\frac{1}{2}$at²，
又 a=$\frac{3mg-mg}{3m+m}=\frac{1}{2}g$
解得，磁感應(yīng)強(qiáng)度B怎樣隨時(shí)間t變化關(guān)系：B_t=$\frac{{B}_{0}h}{h+{v}_{0}t+\frac{g}{4}{t}^{2}}$；
答：（1）電阻R中的感應(yīng)電流方向?yàn)椋篞→R→F；
（2）重物勻速下降的速度為$\frac{2mg（R+r）}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（3）重物從釋放到下降h的過程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{2mghR}{R+r}$-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$；
（4）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化關(guān)系為B_t=$\frac{{B}_{0}h}{h+{v}_{0}t+\frac{g}{4}{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題分別從力和能量?jī)蓚�(gè)角度研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，關(guān)鍵是計(jì)算安培力和分析能量如何變化，以及把握沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件．