Question

17．在某行星上，航天員用彈簧測(cè)力計(jì)稱得質(zhì)量為m的砝碼所受的重力為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面的空間飛行，測(cè)得其環(huán)繞周期為T，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求該星球的質(zhì)量和密度．

Answer 1

分析 先m物體在星球表面的重量等于萬(wàn)有引力列式，再根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式，兩式聯(lián)立即可解題；
由地球的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星的向心力和密度定義求解．

解答 解：設(shè)星球半徑為R，星球質(zhì)量為M
則由m物體在星球表面的重量等于萬(wàn)有引力知F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg①
又萬(wàn)有引力提供向心力知：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R②
 由①②聯(lián)立解得：M=$\frac{{{T}^{4}F}^{3}}{16{{Gπ}^{4}m}^{3}}$，
乘宇宙飛船在靠近該星球表面的空間飛行，測(cè)得其環(huán)繞周期為T，
由飛船的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星的向心力得
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R
M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
根據(jù)密度定義得該星球的密度ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{{GT}^{2}}$，
答：該星球的質(zhì)量是$\frac{{{T}^{4}F}^{3}}{16{{Gπ}^{4}m}^{3}}$，密度是$\frac{3π}{{GT}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查了萬(wàn)有引力公式及向心力基本公式的直接應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．