Question

3．如圖所示，BC為半徑R=0.8m的$\frac{1}{4}$圓弧固定在水平地面上，AB為水平軌道，兩軌道在B處相切連接；AB軌道上的滑塊P通過不可伸長(zhǎng)的輕繩與套在豎直光滑細(xì)桿的滑塊Q連接；P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)且圓弧軌道C點(diǎn)與豎直桿間距離足夠遠(yuǎn)，開始時(shí)，P在A處，Q在與A同一水平面上的E處，且繩子剛好伸直處于水平，固定的小滑輪在D處，DE=0.35m，現(xiàn)把Q從靜止釋放，當(dāng)下落h=0.35m時(shí)，P恰好到達(dá)圓弧軌道的B點(diǎn)，且剛好對(duì)B無壓力，并且此時(shí)繩子突然斷開，取g=10m/s²．試求：
（1）在P到達(dá)B處時(shí)，P、Q的速度大小分別為多少；
（2）滑塊P、Q落地的時(shí)間差．

Answer 1

分析 （1）P恰好到達(dá)圓弧軌道的B，且對(duì)B無壓力，重力提供向心力，根據(jù)向心力公式得v_p，P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，繩子的速度等于P的速度，根據(jù)幾何關(guān)系知繩與豎直方向夾角為45°，v_Q=$\frac{{v}_{p}}{cos45°}$．
（2）繩子斷后，P做平拋運(yùn)動(dòng)R=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，Q做豎直下拋運(yùn)動(dòng)R-h=v_Qt$+\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$從而知各自運(yùn)動(dòng)時(shí)間，△t=t₁-t₂．

解答 解：（1）P恰好到達(dá)圓弧軌道的B，且對(duì)B無壓力，重力提供向心力，
根據(jù)向心力公式得：
m_pg=m_p$\frac{{v}_{p}^{2}}{R}$
解得：v_p=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.8}$=2$\sqrt{2}$m/s
P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，繩子的速度等于P的速度，根據(jù)幾何關(guān)系知繩與豎直方向夾角為45°，
v_Q=$\frac{{v}_{p}}{cos45°}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=4m/s
（2）繩子斷后，P做平拋運(yùn)動(dòng)R=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$①
Q做豎直下拋運(yùn)動(dòng)R-h=v_Qt$+\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$②
△t=t₁-t₂③
由①②③得△t=0.3s
答：（1）在P到達(dá)B處時(shí)，P、Q的速度大小分別為2$\sqrt{2}$m/s，4m/s
（2）滑塊P、Q落地的時(shí)間差為0.3s．

點(diǎn)評(píng) 此題考察曲線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，會(huì)根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解知Q的速度，熟悉平拋運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可解答，屬于中等題目．