Question

11．如圖所示，垂直紙面的平面MN將空間分成兩部分，上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，下方有勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小方向未知，從MN上的O點(diǎn)，先后有兩個(gè)帶電粒子垂直磁場(chǎng)方向射入上方空間，其中甲粒子帶負(fù)電，速度方向與MN的夾角α=30°，大小v₁=v₀，乙粒子帶正電，速度方向與MN的夾角β=60°，大小v₂=$\sqrt{3}$v₀，兩粒子質(zhì)量皆為m、電荷量皆為q，且同時(shí)到達(dá)磁場(chǎng)邊界的A、B兩點(diǎn)（圖中未畫(huà)出），不計(jì)兩粒子的重力及粒子間的相互作用．
（1）求兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)A、B之間的距離d；
（2）求兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔△t；
（3）若MN下方的勻強(qiáng)電場(chǎng)平行于紙面，且兩粒子在電場(chǎng)中相遇，其中甲粒子做直線運(yùn)動(dòng)，求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力求出兩種情況下粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，然后結(jié)合幾何關(guān)系即可求出AB之間的距離；
（2）求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，然后求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）結(jié)合甲做直線運(yùn)動(dòng)，分析A與B的受力情況與運(yùn)動(dòng)情況，然后結(jié)合牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，由洛倫茲力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$
由圖中幾何關(guān)系可知：$AO={r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$，$OB=2×{r}_{2}cosα=2×\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3m{v}_{0}}{qB}$
所以：$d=AO+OB=\frac{4m{v}_{0}}{qB}$
（2）由圖可知，甲離子轉(zhuǎn)過(guò)的角度是：θ₁=360°-2α=360-2×30=300°，
乙粒子轉(zhuǎn)過(guò)的角度：θ₂=360°-2β=36-2×60=240°
粒子運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與周期的關(guān)系：$\frac{θ}{2π}=\frac{t}{T}$
兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{甲}=\frac{300}{360}×T=\frac{5πm}{3qB}$，${t}_{乙}=\frac{240}{360}×T=\frac{4πm}{3qB}$
兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔△t=${t}_{甲}-{t}_{乙}=\frac{5πm}{3qB}-\frac{4πm}{3qB}=\frac{πm}{3qB}$

（3）由于甲粒子在電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，所以電場(chǎng)力的方向沿甲粒子的速度的方向，甲粒子自發(fā)地，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿右上方．（若與運(yùn)動(dòng)的方向相反，則二者可能不能相遇）
由于α=30°，β=60°，由帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，粒子從磁場(chǎng)中射出后一定的方向與MN之間的夾角仍然分別是α和β，所以粒子從磁場(chǎng)中射出后速度的方向相互垂直，可知沿兩個(gè)速度的方向上BC⊥AC，電場(chǎng)力的方向沿AC的方向所以與BC垂直，所以粒子甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，而粒子乙做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．由于粒子的質(zhì)量和電荷量都相等，所以加速度也相等，設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，加速度：$a=\frac{qE}{m}$
設(shè)二者在D點(diǎn)相遇，相遇時(shí)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則沿BC的方向，粒子乙的運(yùn)動(dòng)：$\overline{BC}={v}_{2}t$，其中：$\overline{BC}=d•sinα=d•sin30°=\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
甲的位移：$\overline{AD}={v}_{1}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$
乙的位移：$\overline{CD}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
$\overline{AD}+\overline{CD}=\overline{AC}=d•cosα=d×cos30°=2\sqrt{3}•\frac{m{v}_{0}}{qB}$
聯(lián)立以上方程，解得：E=B•v₀
答：（1）兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)A、B之間的距離是$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（2）兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方的勻強(qiáng)電場(chǎng)平行于紙面，且兩粒子在電場(chǎng)中相遇，其中甲粒子做直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為B•v₀，方向向右上，與MN之間的夾角是30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角、根據(jù)粒子的周期公式可以求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．