Question

15．如圖所示，一質(zhì)量為M的光滑小球靜止在桌面邊緣，桌面離水平地面的高度為h．質(zhì)量為m的等大的小球以水平速度v₀通過一段L=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8μg}$的距離后與小球M正碰（μ為小球m與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)，g為重力加速度）．已知碰撞為完全彈性碰撞．求：
（1）碰撞前m球的速度大小；
（2）碰撞后m和M的速度大��；
（3）小球M落地點(diǎn)離桌面邊緣的水平距離的范圍．

Answer 1

分析 （1）小球在桌面上運(yùn)動(dòng)的過程中受到摩擦力的作用，由動(dòng)能定理即可求出碰撞前的速度；
（2）碰撞后M做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成水平方向和豎直方向即可求出A拋出時(shí)的速度；M與m碰撞的過程中動(dòng)量守恒，列出公式即可求出m的速度；
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和兩個(gè)物體之間的質(zhì)量關(guān)系，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)分析即可．

解答 解：（1）設(shè)碰撞前m球的速度為v₁，由動(dòng)能定理
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
（2）設(shè)碰撞后m、M的速度分別為v_m和v_M，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，則有：
mv₁=mv₂+Mv₃
根據(jù)機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$，
聯(lián)立得：${v}_{2}=\frac{m-M}{2（m+M）}{v}_{0}$，${v}_{3}=\frac{m{v}_{0}}{m+M}$
（3）對(duì)它們的質(zhì)量關(guān)系進(jìn)行討論：①當(dāng)M＞＞m時(shí)，v₃≈0
②當(dāng)m＞＞M時(shí)，v₃≈v₀
設(shè)物塊下落所需時(shí)間為t，水平位移為s，則：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=v₃t，
聯(lián)立得：s=${v}_{3}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
若v₃=0，則：s=0
若v₃≈v₀，則：s=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
綜上所述，小球M的水平位移范圍是：0＜s＜${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）碰撞前m球的速度大小是$\frac{1}{2}{v}_{0}$；
（2）碰撞后m和M的速度大小分別是$\frac{m-M}{2（m+M）}{v}_{0}$和$\frac{m{v}_{0}}{m+M}$；
（3）小球M落地點(diǎn)離桌面邊緣的水平距離的范圍．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及碰撞中的動(dòng)量守恒、平拋運(yùn)動(dòng)和勻減速運(yùn)動(dòng)的三個(gè)過程，過程多，而情景都比較簡(jiǎn)單．屬于中檔題目．