Question

16．已知引力常量為G，地球半徑為R，月球和地球球心間的距離為r，同步衛(wèi)星距地面的高度為h，月球繞地球運(yùn)行的周期為T₁，地球的自轉(zhuǎn)周期為T₂，地球表面的重力加速度為g，某同學(xué)根據(jù)以上條件，估算地球質(zhì)量M的表達(dá)式正確的是（　　）

• A． M=$\frac{4{π}^{2}{h}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
• B． M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}_{1}}$
• C． M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
• D． M=$\frac{4{π}^{2}（h+R）^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力和萬(wàn)有引力提供向心力求解中心天體（地球）的質(zhì)量．

解答 解：AD、同步衛(wèi)星的周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期，同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+h）$，解得地球質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$，A選項(xiàng)未計(jì)入地球半徑，D選項(xiàng)周期應(yīng)為地球自轉(zhuǎn)周期，故A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；
B、月球繞地球做周期為${T}_{1}^{\;}$的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，$G\frac{M{m}_{月}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}r$，得地球質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故B正確；
C、地球表面物體重力等于萬(wàn)有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得地球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，故C正確；
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 解答萬(wàn)有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用時(shí)要明確天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其受到的萬(wàn)有引力提供向心力，會(huì)用線速度、角速度、周期表示向心力，同時(shí)注意公式間的化簡(jiǎn)．