Question

9．如圖所示，在豎直平面的xOy坐標系內(nèi)，一根長為l的不可伸長的細繩，一端固定在拉力傳感器A上，另一端系一質(zhì)量為m的小球．x軸上的P點固定一個表面光滑的小釘，P點與傳感器A相距$\frac{3}{4}$l．現(xiàn)拉小球使細繩繃直并處在水平位置，然后由靜止釋放小球，當細繩碰到釘子后，小球可以繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運動．已知小球經(jīng)過最低點時拉力傳感器的示數(shù)為6mg，重力加速度大小為g，求：
（1）小球經(jīng)過最低點時的速度大小v及傳感器A與坐標原點O之間的距離h；
（2）若小球繞P點一周（不計繩長變化），再次經(jīng)過最低點時繩子恰好斷開，請確定小球經(jīng)過y軸的坐標位置．

Answer 1

分析 （1）小球經(jīng)過最低點時，由重力和細繩拉力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求速度v；小球向下運動的過程，運用機械能守恒求距離h．
（2）繩子恰好斷開小球從最低點開始做平拋運動，平拋運動的規(guī)律求解．

解答 解：（1）小球在最低點時，由牛頓第二定律有：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
由題意可知 R=$\frac{l}{4}$…②
聯(lián)立解得 v=$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$…③
根據(jù)機械能守恒得得：
  mg（h+$\frac{l}{4}$）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…④
解得 h=$\frac{3}{8}$l…⑤
（2）由幾何關系有 x_op=$\sqrt{（\frac{3}{4}l）^{2}-{h}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$l…⑥
斷開后做平拋運動，故 x_op=vt…⑦
 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑧
解得 y=$\frac{27l}{160}$…⑨
小球離開y軸時的縱坐標為-（$\frac{27l}{160}$+$\frac{l}{4}$）=-$\frac{67l}{160}$…⑩
即小球離開y軸的坐標為（0，-$\frac{67l}{160}$）．
答：（1）小球經(jīng)過最低點時的速度大小v是$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$，傳感器A與坐標原點O之間的距離h是$\frac{3}{8}$l；
（2）小球經(jīng)過y軸的坐標位置是（0，-$\frac{67l}{160}$）．

點評 小球在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，應用機械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時要注意，小球到達最低點時，由重力和拉力的合力提供向心力．