Question

12．光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CE連接．水平軌道的CD段光滑、DE段粗糙．一根輕質(zhì)彈簧一端固定在C處的豎直面上，彈簧處于自然長(zhǎng)度．將質(zhì)量為m的物塊a從頂端F點(diǎn)靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑．
已知圓弧軌道半徑為r，$\overline{DE}$=L，物塊a與DE段水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．物塊a均可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）物塊a第一次經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度是多少？
（2）彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能E_p？
（3）試討論L取何值時(shí)，a只能發(fā)生壓縮一次彈簧？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊a第一次經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）由對(duì)運(yùn)動(dòng)全程應(yīng)用動(dòng)能定理可得彈簧彈力做功，由功能關(guān)系可得彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能E_p．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒定律求出a、b一起壓縮彈簧時(shí)的速度，根據(jù)物塊a到達(dá)D點(diǎn)的速度不為零，求出l的范圍，以及知道a、b只發(fā)生一次碰撞，物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道上P點(diǎn)，物塊b在水平軌道上勻減速滑至P點(diǎn)也恰好停止．結(jié)合動(dòng)能定理求出l的范圍

解答 解：（1）物塊a由F到E過(guò)程中，由機(jī)械能守恒有：mgr=$\frac{1}{2}$${mv}_{1}^{2}$①
解得第一次經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度 ${v}_{1}=\sqrt{2gr}$②
（2）物塊a從F滑至D過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：mgr-μmgL=E_kD③
物塊壓縮彈簧過(guò)程，機(jī)械能守恒，故彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能為E_P=E_kD④
由③④可得，E_P=mgr-μmgL⑤
（3）只發(fā)生壓縮一次彈簧，則最多三次至少一次通過(guò)有摩擦的區(qū)域，故必須滿(mǎn)足μmgL＜mgr≤3μmgL
即$\frac{r}{3μ}≤L＜\frac{r}{μ}$
答：（1）物塊a第一次經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度是$\sqrt{2gr}$；
（2）彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能為mgr-μmgL；
（3）當(dāng)$\frac{r}{3μ}≤L＜\frac{r}{μ}$時(shí)，a只能發(fā)生壓縮一次彈簧．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，對(duì)于只能發(fā)生壓縮一次彈簧，找出幾次通過(guò)有摩擦區(qū)域是關(guān)鍵，中檔題．