Question

4．在水平面上固定著一個足夠長的寬為L、傾角為30°光滑絕緣斜面，在斜面頂端的兩側(cè)，各固定有一個光滑的定滑輪，MN、PQ是兩根金屬棒，用細導線通過兩滑輪跨接在斜面上，如圖所示，已知MN的質(zhì)量為3m、電阻為r，PQ的質(zhì)量為m，電阻為2r，其余部分質(zhì)量和電阻均不計．整個空間存在著水平向右的勻強磁場，磁感應強度為B；開始時，MN靜止在斜面頂端，PQ在豎直面內(nèi)，試求：（不計電磁輻射）
（1）MN在運動過程中的最大速度；
（2）若通過傳感器測得通過導線橫截面的電量為BL²/6r，整個回路產(chǎn)生的電熱是多少？．

Answer 1

分析 （1）導體棒勻速運動時受力平衡，分別對PQ和MN棒研究，由平衡條件和安培力公式列式，即可求得速度．
（2）先根據(jù)平均電動勢以及Q=It求出PQ下降的距離，然后根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒列式，即可求得電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）導體棒勻速運動時，設棒的速度為v；
PQ棒向下運動，由右手定則可知，產(chǎn)生的感應電流的方向由P流向Q；MN棒向上運動，由右手定則可知，感應電流由N流向M，兩個感應電流的方向在電路中是同向的，所以電路中的總電動勢是兩部分電動勢的和．
PQ產(chǎn)生的電動勢為：E₁=BLv
MN產(chǎn)生的電動勢為：E₂=BLvsin30°=0.5BLv
回路中的總電動勢為：E=E₁+E₂=1.5BLv
回路中的電流為：I=$\frac{E}{r+2r}=\frac{1.5BLv}{3r}=\frac{BLv}{2r}$
由左手定則可知，PQ受到的安培力的方向向上，MN受到的安培力的方向向下；設MN與PQ之間細導線的拉力為T，根據(jù)平衡條件，
 對金屬棒PQ有：3mg=T+F₁
 對金屬棒MN有：T=mgsinθ+F₂，
又：F₁=F₂=BIL
可解得：v=$\frac{2.5mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）設該過程中PQ下降的距離為d，則MN也沿斜面向上運動d，PQ掃過的面積為：S₁=Ld
MN掃過的垂直于磁場方向的面積為：S₂=Ldsin30°=1.5Ld
設該過程使用的時間為t，則平均電動勢為：$\overline{E}=\frac{B（{S}_{1}+{S}_{2}）}{t}$
電路中的平均電流為：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{r+2r}$
通過導線橫截面的電量為：q=$\overline{I}t$
又已知：q=$\frac{B{L}^{2}}{6r}$
聯(lián)立可得：d=$\frac{L}{3}$
PQ與MN運動距離d的過程中，根據(jù)能量守恒定律得：
  3mgd-mgdsinθ=$\frac{1}{2}（3m+m）{v}^{2}$+Q  
可得：Q=$\frac{5}{6}mgL-\frac{12.5{m}^{3}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）MN在運動過程中的最大速度是$\frac{2.5mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）整個回路產(chǎn)生的電熱是$\frac{5}{6}mgL-\frac{12.5{m}^{3}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題是電磁感應中的力學問題，關鍵要正確推導出安培力與速度的關系，正確分析能量如何轉(zhuǎn)化，從力和能兩個角度進行求解．