Question

6．某實(shí)驗(yàn)小組為了體驗(yàn)伽利略理想實(shí)驗(yàn)的魅力，利用一塊長(zhǎng)方形的薄鋼片放在兩個(gè)等高的支架上，做成一個(gè)底部凹形由光滑弧面連接的雙斜面．該裝置可以簡(jiǎn)化為如圖所示模型，斜面與水平面的夾角為θ．現(xiàn)保持小滑塊在左側(cè)斜面上的初始釋放高度H不變，每次都將小滑塊由靜止釋放．小滑塊和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
（1）求小滑塊運(yùn)動(dòng)到右側(cè)斜面的最大高度h．
（2）該小組發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候θ增大時(shí)小滑塊運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)的路程s增大，有時(shí)候θ增大時(shí)小滑塊運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)的路程s減�。�假設(shè)μ=$\frac{\sqrt{9}}{3}$，請(qǐng)你求出s與θ的關(guān)系，并解答該小組的疑惑．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出滑塊的加速度，然后由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出滑塊上升的最大高度．
（2）求出滑塊路程的表達(dá)時(shí)，然后根據(jù)表達(dá)式分析答題．

解答 解：（1）小滑塊在左側(cè)斜面下滑時(shí)加速度大小為a₁，到達(dá)底端時(shí)速度大小為v，
由牛頓第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
解得：a₁=gsinθ-μgcosθ，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：v²=2a₁$\frac{H}{sinθ}$，
小球在右側(cè)斜面向上滑動(dòng)過(guò)程，由牛頓第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
解得：a₂=gsinθ+μgcosθ，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：0-v²=2（-a₁）$\frac{h}{sinθ}$，
解得：h=$\frac{sinθ-μcosθ}{sinθ+μcosθ}$H；
（2）滑塊的總路程：s=$\frac{H+h}{sinθ}$=$\frac{2}{sinθ+μcosθ}$H，
s=$\frac{2H}{\sqrt{2+{μ}^{2}}}$$\frac{1}{cos（θ-β）}$，其中：cotβ=μ，
已知：μ=$\frac{\sqrt{9}}{3}$，則：s=$\sqrt{3}$H•$\frac{1}{cos（θ-\frac{π}{3}）}$，
要使滑塊滑動(dòng)，則：θ＞arctanμ=$\frac{π}{6}$，
當(dāng)$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$時(shí)，隨θ增大s增大，
當(dāng)$\frac{π}{6}$＜θ≤$\frac{π}{3}$時(shí)，隨θ增大s減��；
答：（1）小滑塊運(yùn)動(dòng)到右側(cè)斜面的最大高度h為$\frac{sinθ-μcosθ}{sinθ+μcosθ}$H．
（2）s與θ的關(guān)系為：s=$\frac{2}{sinθ+μcosθ}$H，當(dāng)$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$時(shí)，隨θ增大s增大，當(dāng)$\frac{π}{6}$＜θ≤$\frac{π}{3}$時(shí)，隨θ增大s減小．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求滑塊的高度、求路程與斜面傾角的關(guān)系，考查了牛頓第二定律的應(yīng)用，分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用牛頓第二定律與勻變速運(yùn)動(dòng)公式即可解題；本題的難點(diǎn)與解題的關(guān)鍵是：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析答題．