Question

5．如圖所示，在平面坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第Ⅱ象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限內(nèi)存在有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度為L(zhǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于坐標(biāo)平面向里，磁感應(yīng)該強(qiáng)度為B，一帶正電未知粒子從第Ⅱ象限中的P（-L，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$L）點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射出，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)，從N（L，0）點(diǎn)射出磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力．求：
（1）第Ⅱ象限內(nèi)所加電場(chǎng)強(qiáng)度E
（2）粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比$\frac{t_1}{t_2}$=？
（3）離子進(jìn)入磁場(chǎng)B后，某時(shí)刻再加一個(gè)同方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，使帶電粒子做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列出水平方向與豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程，然后結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)即可求出；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，寫出其周期公式，然后結(jié)合$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最后求出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比；
（3）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子軌跡恰好與磁場(chǎng)下邊界相切為臨界情況，由幾何關(guān)系得到半徑，由牛頓第二定律得到B₁的最小值．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_1}=\frac{L}{v_0}$…①
沿y軸方向有：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t_1^2$…②
帶電粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，${v_y}=a{t_1}=\sqrt{3}{v_0}$
所以v方向與x軸正方向的夾角α=60°
所以：v=2v₀ …③
帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
由 $qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$ 
得：$r=\frac{mv}{qB}$…④
由幾何關(guān)系得：$r=\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$…⑤
由以上可式可求得：E=Bv₀
（2）在磁場(chǎng)中的時(shí)間  ${t_2}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3Bq}=\frac{2πr}{3v}=\frac{{\sqrt{3}πL}}{{9{v_0}}}$
$\frac{t_1}{t_2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{π}$
（3）由$Bqυ=\frac{{m{υ^2}}}{r}$知，B越小，r越大．設(shè)帶電料子在磁場(chǎng)中最大半徑為R

由幾何關(guān)系得：$R=\frac{1}{4}r$
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：$（B+{B_1}）qυ=\frac{{m{υ^2}}}{R}$
磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的最小值為：B₁=3B
答：（1）第Ⅱ象限內(nèi)所加電場(chǎng)強(qiáng)度Bv₀；
（2）粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比是$\frac{3\sqrt{3}}{π}$；
（3）所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的最小值是3B．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對(duì)于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑．