Question

20．如圖所示，由半徑為R的$\frac{3}{4}$光滑圓周和傾角為45°的光滑斜面組成的軌道固定在豎直平面內(nèi)，斜面和圓周之間由小圓弧平滑連接．一小球恰能過(guò)最高點(diǎn)，并始終貼著軌道內(nèi)側(cè)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．則小球通過(guò)斜面的時(shí)間為（重力加速度為g）（　　）

• A． 2$\sqrt{gR}$
• B． 2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• C． （2$\sqrt{2}$-2）$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• D． （$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$）$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 分析小球在光滑軌道上滑行，順時(shí)針從內(nèi)側(cè)通過(guò)斜面，從題條件可知，小球在斜面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榧铀俣群愣�，初速度越小通過(guò)斜面的時(shí)間越長(zhǎng)，根據(jù)小球在圓周軌道內(nèi)側(cè)能做圓周運(yùn)動(dòng)的條件判斷到達(dá)斜面項(xiàng)端時(shí)小球的最小速度，從而再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)求出小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可．

解答 解：如圖，小球能在圓周內(nèi)側(cè)斜面做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)圓周最高點(diǎn)的速度$v≥\sqrt{gR}$，則根據(jù)動(dòng)能定理，可求出小球到達(dá)斜面頂端時(shí)的速度v₁，有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得：${v}_{1}=\sqrt{{v}^{2}+2gR}$
要求小球通過(guò)斜面時(shí)間最長(zhǎng)，要求v₁盡可能小，根據(jù)速度$v≥\sqrt{gR}$的條件可知，v₁的最小值等于${v}_{1}=\sqrt{3gR}$
物體在光滑斜面上下滑時(shí)，沿斜面下滑的加速度a=gsinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}g$，已知小球在斜面上做勻加速運(yùn)動(dòng)的初速度${v}_{1}=\sqrt{3gR}$，加速度a=$\frac{\sqrt{2}}{2}g$，位移x=$\sqrt{2}R$，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求出小球通過(guò)斜面的最長(zhǎng)時(shí)間為：
t=$（\sqrt{10}-\sqrt{6}）\sqrt{\frac{R}{g}}$，故D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)小球能圓內(nèi)側(cè)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)能過(guò)通過(guò)最高點(diǎn)的條件是$v≥\sqrt{gR}$從而得求小球滑上斜面時(shí)的最小速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最小時(shí)間．