Question

19．兩根平行的導(dǎo)電軌道MN、PQ右端置于水平面上，左端與水平面成37°角，整個軌道處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，導(dǎo)體棒ab與左側(cè)軌道垂直放置，導(dǎo)體棒cd與右側(cè)軌道垂直放置，如圖甲所示．已知軌道間距L=1m，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，兩導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m=1kg，電阻R_ab=2R_cd=10Ω，導(dǎo)體棒ab與軌道之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，導(dǎo)體棒cd與軌道之間無摩擦力，導(dǎo)電軌道的電阻不計．當(dāng)導(dǎo)體棒cd受到外力F（圖中未畫出）作用，在水平面內(nèi)按圖乙所示正弦規(guī)律往復(fù)運動（規(guī)定cd棒向右運動為正方向）時，導(dǎo)體棒ab始終保持靜止?fàn)顟B(tài)．求：

（1）導(dǎo)體棒cd兩端電壓u_cd隨時間t變化的規(guī)律；
（2）0～5s內(nèi)外力F做的功W；
（3）導(dǎo)體棒ab與傾斜軌道間動摩擦因數(shù)的最小值μ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢然后即可求出cd兩端的電壓
（2）根據(jù)交流電規(guī)律求出有效值，然后求出功
（3）當(dāng)導(dǎo)體棒受力平衡時，電流I最大且f達(dá)到最大靜摩擦力時，要求棒與軌道之間的動摩擦因數(shù)最大，此為滿足題意的最小值

解答 解：（1）導(dǎo)體棒cd運動所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢  E=BLv=1×1×6sin$（\frac{π}{2}t）$=6sin$（\frac{π}{2}）t$
回路中的電流i=$\frac{E}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{2}{5}sin（\frac{π}{2}）t$
所以導(dǎo)體棒cd兩端的電壓U_cd=IR_ab=4sin$（\frac{π}{2}）t$V
（2）由（1）問知，導(dǎo)體棒中的電流是正弦式交流電，
其有效值 I=$\frac{\sqrt{2}}{2}{I}_{m}$A
5s內(nèi)整個回路所產(chǎn)生的熱量  Q=I²（R_ab+R_cd）t=（$\frac{\sqrt{2}}{5}$）²×15×5=6J
導(dǎo)體棒cd增加的動能為E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{6}^{2}=18$J
所以，在這5s內(nèi)外力F做的功W=Q+E_k=24J
（3）分析可知，當(dāng)導(dǎo)體棒ab受力如圖所示，電流I最大且f達(dá)到最大靜摩擦力時，要求棒與軌道之間的動摩擦因數(shù)最大，此為滿足題意的最小值
由力的平衡有f=BILcos37°+mgsin37°
N+BILsin37°=mgcos37°
聯(lián)立得μ=$\frac{mgsin37°+BILcos37°}{mgcos37°-BILsin37°}$
從而，導(dǎo)體棒ab與軌道之間的動摩擦因數(shù)的最小值μ=0.81
答：（1）導(dǎo)體棒cd兩端電壓u_cd隨時間t變化的規(guī)律為4sin$（\frac{π}{2}）t$；
（2）0～5s內(nèi)外力F做的功W為24J；
（3）導(dǎo)體棒ab與傾斜軌道間動摩擦因數(shù)的最小值μ為0.81．

點評 本題考查了電磁感應(yīng)中的力電綜合題型，是高考常見的題型，受力分析時注意安培力表達(dá)式的推導(dǎo)，解決方法和力學(xué)方法一樣．