Question

20．如圖甲所示，水平軌道光滑，小球質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，可看做質(zhì)點(diǎn)，空間內(nèi)存在不斷變化的電場和磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=$\frac{2πm}{q}$，方向垂直紙面向里．電場在第1s、3s、5s…內(nèi)方向水平向右，大小為E=$\frac{mg}{q}$，在第2s、4s、6s…內(nèi)方向豎直向上，大小也為E=$\frac{mg}{q}$．小球從零時(shí)刻開始在A點(diǎn)由靜止釋放，求：

（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）t=1.5s時(shí)，小球與A點(diǎn)的直線距離大�。�
（3）在A點(diǎn)前方軌道正上方高度為h=$\frac{2g}{π}$位置有一個(gè)帶孔的卡片水平放置，若帶電小球恰好可以從小孔中豎直穿過，求卡片與A點(diǎn)的水平距離大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，即可求解；
（2）小球在第1s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在第2s內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球的水平位移，由牛頓第二定律求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，然后求出小球與A點(diǎn)間的距離；
（3）小球在奇數(shù)秒內(nèi)做加速運(yùn)動(dòng)，在偶數(shù)秒內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意求出圓環(huán)位置與A點(diǎn)間的水平距離．

解答 解：（1）由洛倫茲力提供向心力，則有：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
且$T=\frac{2πr}{v}$
則有，$T=\frac{2πm}{Bq}$
解得：T=1s
（2）小球在第1s內(nèi)，只受到水平向右的電場力作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
設(shè)其加速度大小為a，則
qE=ma      
可得a=g        
運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，1s時(shí)小球到達(dá)1位置的速度為
v₁=at=g（m/s）               
位移${x_1}=\frac{{a{t^2}}}{2}=\frac{g}{2}（m）$
第2s內(nèi)磁場向里，電場向上，有qE=mg，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
由$qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$
得${r_1}=\frac{g}{2π}$
周期$T=\frac{2πm}{qB}=1s$
t=1.5s時(shí)，小球在圓軌跡的最高點(diǎn)，高度為2r₁，
則小球與A點(diǎn)的直線距離$s=\sqrt{x_1^2+（2r_1^2）}=\frac{g}{2π}\sqrt{{π^2}+4}$（m） 
（3）第3s內(nèi)電場水平向右，沒有磁場，小球以初速度v₁、加速度a=g做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，第3s末到達(dá)2位置，速度為v₂，
則v₂=v₁+at=2g（m/s），位移大小${x_2}={v_1}t+\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{3}{2}g（m）$
小球在第4s內(nèi)電場內(nèi)與重力平衡，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期T=1s，半徑${r_2}=2×\frac{g}{2π}$．
因此小球在奇數(shù)秒內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng)，在偶數(shù)秒內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
在圓軌跡的最低點(diǎn)速度為v₁=g（m/s），
v₂=2g（m/s），
v₃=3g（m/s）
圓的軌道半徑為：r₁=$\frac{g}{2π}$，
r₂=2×$\frac{g}{2π}$，
r₃=3×$\frac{g}{2π}$
在奇數(shù)秒內(nèi)的位移：x₁=$\frac{g}{2}$，
x₂=$\frac{3g}{2}$，
x₃=$\frac{5g}{2}$
小球恰好從圓環(huán)內(nèi)豎直穿過，則圓軌跡半徑恰好等于h，
有$h=\frac{2g}{π}=4×\frac{g}{2π}={r_4}$
因此圓環(huán)在小球運(yùn)動(dòng)的第四個(gè)圓軌跡與圓心等高處
若小球向上豎直穿過圓環(huán)，則圓環(huán)與A點(diǎn)的水平距離為$x={x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}+{r_4}=8g+\frac{2g}{π}$
若小球豎直向下穿過圓環(huán)，則圓環(huán)與A點(diǎn)的水平距離為$x={x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}-{r_4}=8g-\frac{2g}{π}$
答：（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期1s；
（2）t=1.5s時(shí)，小球與A點(diǎn)的直線距離大小為$\frac{g}{2π}\sqrt{{π}^{2}+4}$ m；
（3）卡片與A點(diǎn)的水平距離大小（8g+$\frac{2g}{π}$）m或（8g-$\frac{2g}{π}$）．

點(diǎn)評 本題考查了小球在電場與磁場中的運(yùn)動(dòng)，小球在奇數(shù)秒內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偶數(shù)秒內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析求出小球的運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵．