Question

8．火星繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r₁，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r₂，地球的公轉(zhuǎn)周期為T₂，則：
（1）寫出火星的公轉(zhuǎn)周期T₁的表達式
（2）如果火星與地球的半徑之比為R₁：R₂=1：3，火星與太陽間的引力與地球和太陽間的引力之比F₁：F₂=4：81，火星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為r₁：r₂=1.5：1，求火星與地球的平均密度之比ρ₁：ρ₂為多少？（設公轉(zhuǎn)軌道看作圓周，只考慮太陽對火星和太陽對地球的作用）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)開普勒第三定律即可求出；
（2）研究火星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)，根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合萬有引力等于重力表示出重力加速度，再去進行比較．

解答 解：（1）根據(jù)開普勒第三定律可得：$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$
所以：${T}_{1}={T}_{2}•\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}}$
（2）根據(jù)萬有引力定律的表達式：$F=\frac{GMm}{{r}^{2}}$得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{\frac{{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}}{\frac{{m}_{2}}{{r}_{2}^{2}}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}•\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{1}{2.25}•\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$  ①
又：F₁：F₂=4：81，所以：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{1}{9}$  ②
火星與地球的半徑之比為R₁：R₂=1：3，
由體積公式：$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，質(zhì)量公式：m=ρV
所以：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}{{ρ}_{2}•\frac{4}{3}π{R}_{2}^{3}}=\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}•\frac{1}{27}$  ③
聯(lián)立②③得：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}=\frac{3}{1}$
答：（1）火星的公轉(zhuǎn)周期T₁的表達式為${T}_{1}={T}_{2}•\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}}$；
（2）火星與地球的平均密度之比ρ₁：ρ₂為3：1．

點評 該題結(jié)合對萬有引力的考查，比較地球與火星的一些相關(guān)的數(shù)據(jù)，要比較一個物理量大小，我們應該把這個物理量先表示出來，在進行比較即可．